„Harmonikus sor” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
LRRR (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
23. sor:
Ez azonban lehetetlen, hiszen
:<math>s_N\rightarrow\infty</math>, ha <math>N\rightarrow\infty</math>.
Ezt felhasználva bizonyíthatjuk azt is, hogy a primszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján
:<math>\prod_{i=1}^N\left(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}\right)<\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}</math>
is fennál minden ''N''-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első ''N'' prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb ''N''. Nyilvánvaló, hogy ''N''-ig minden szám ilyen, tehát
:<math>\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\prod_{i=1}^N\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)</math>.
Mivel <math>0<1+\frac{1}{p_i-1}</math>, vehetjük a két oldan természetes alapu logaritmusát, és becsülhetjük a jobboldalon a tagokat <math>\log{x}<x-1</math>-el:
:<math>\ln\left(s_N\right)<\sum_{i=1}^N\ln\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)<\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i-1}=1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_{i+1}-1}<1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i}</math>
Tehát ha <math>N\rightarrow\infty</math>, akkor <math>s_N\rightarrow\infty</math>, <math>\ln\left(s_n\right)\rightarrow\infty</math>, továbbá <math>1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i}\rightarrow\infty</math>.
Emiatt a <math>\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{p_i}</math> sor divergens.
== Forrás ==
* Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: ''Analízis II.'' ISBN 978-963-19-6084-6
| |||