Wikipédia

„Differenciál” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
42. sor:
=== Másodrendű differenciál ===
 
Ha feltesszük, hogy ''f'' az ''a'' pontban kétszer differenciálható, akkor az ''x'' <math>\mapsto</math> ''&epsilon;(x-a)'' függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az ''f ' '' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:
:<math>f'(x)=f'(a)+f''(a)\cdot(x-a)+ \delta(x-a)\cdot(x-a)</math>
ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi ''a'' közelében. Ekkor a '''másodrendű''', vagy második '''differenciál''':
:<math>d^2f(a)=f''(a)\cdot(x-a)^2</math>
Természetesen ekkor a szokásos ''dx = x - a'' jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:
:<math>\frac{d^2f(a)}{dx^2}=f''(a)</math>
A másodrendű differenciált is figyelembevéve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha &epsilon;-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor ''f(x)'' alkalmas ''B'' számmal és ''a''-ban nullához tartó ''x''<math>\mapsto</math>''&eta;(x-a)'' függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B\!\cdot\!(x-a)+\eta(x-a)\!\cdot\!(x-a))\!\cdot\!(x-a)</math>
azaz
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B+\eta(x-a))(x-a)^2</math>
Ezt kétszer deriválva ''a''-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:
:<math>2B\equiv f''(a)</math>
Vagyis a függvény megváltozása:
:<math>\Delta f=f(x)-f(a)=df(a)+\frac{1}{2}d^2f(a)+ \xi(x-a)\cdot(x-a)^2</math>
ahol ''&xi;(x-a)'' nullához tart, ha ''x'' tart ''a''-hoz.
 
=== Magasabbrendű differenciálok ===
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Differenciál”