„Lineáris altér” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a clean up, replaced: <br> → <br /> (5) AWB |
|||
31. sor:
\}.</math>
Általában, egy ''V'' vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, ''A'' nemüres részhalmaza által generált〈''A''〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük. <br />
Igazolható a következő állítás is
45. sor:
:<math>\langle W, Z \rangle = \{\mathbf{w}+\mathbf{z}\,|\,\mathbf{w}\in W,\,\mathbf{z}\in Z\}
</math>
alteret nevezzük. <br />
Ha ''W'' ∩ ''Z'' = '''0''', akkor a〈''W'',''Z''〉alteret a ''W'' és ''Z'' [[direkt összeg]]ének nevezzük, és a következőképpen <br />
:<math>W \oplus Z</math>
jelöljük.
A ''jóldefiniáltságot'' az adja, hogy a〈''W'',''Z''〉altér elemeinek '''w'''+'''z''' alakban történő felírása, '''w''' ∈ ''W'', '''z''' ∈ ''Z'', akkor és csak akkor egyértelmű, ha ''W'' ∩ ''Z'' = '''0''', ugyanis <br />
Ha ''W'' ∩ ''Z'' = '''0''', és egy '''a''' ∈〈''W'',''Z''〉vektorra fennáll a
:<math>\mathbf{a}=\mathbf{w}_1+\mathbf{z}_1=\mathbf{w}_2+\mathbf{z}_2</math>
egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy '''w'''<sub>1</sub> – '''w'''<sub>2</sub> = '''z'''<sub>1</sub> – '''z'''<sub>2</sub>. Ez utóbbi bal oldalán ''W''-beli, jobb oldalán ''Z''-beli vektor áll, így szükségképpen '''w'''<sub>1</sub>='''w'''<sub>2</sub>, '''z'''<sub>1</sub>='''z'''<sub>2</sub>.<br />
Megfordítva, tegyük fel, hogy '''x''' ≠ '''0''' ∈ ''W'' ∩ ''Z''-nek. Ekkor '''x''' = '''x''' + '''0''' = '''0''' + '''x''' két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát ''W'' ∩ ''Z'' = '''0'''.
62. sor:
* [[Line%C3%A1ris_algebra#Struktur.C3.A1lis_line.C3.A1ris_algebra|Lineáris algebra]]
* [[Lineáris leképezés]]
* [[
{{Portál|matematika}}
| |||