„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→A feladat és megoldása: gépelési hiba javítása |
a Robot: Szomszédos írásjelek kurziválása |
||
1. sor:
A '''kontinuumhipotézis''' a [[matematika]] [[halmazelmélet]] nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit [[Cantor]] vetett fel kérdésként, amikor a [[Cantor-tétel]]ben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben. Legközérthetőbb formájában kontinuumhipotézisen a következőt értjük:
:''a [[valós szám]]ok minden végtelen részhalmaza vagy magával a [[valós szám]]ok halmazával, vagy a [[természetes szám]]okkal azonos számosságú.''
Másképp fogalmazva:
:''nincs olyan halmaz, amelynek [[számosság]]a a valós számok számossága ([[kontinuum-számosság]]) és a [[természetes számok]] számossága ([[megszámlálhatóan végtelen]]) közé esne.''
6. sor:
==A feladat és megoldása ==
A [[Cantor-tétel]] azt állítja, hogy ha ''H'' tetszőleges [[halmaz]], akkor a ''H'' halmaz és a ''P(H)'' halmaz
:<math>|H|<|\mathcal{P}(H)|</math>
Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok '''N''' halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok '''R''' halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy '''R'''-ben ugyanannyi elem van, mint ''P''('''N''')-ben, azaz '''N''' hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy '''R'''-ben saját magával és '''N'''-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz.
| |||