|
== Munkássága ==
=== Matematika ===
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
{{szövegdoboz|keretszín = #A3B0BF|háttérszín = #CEDFF2|„A feltételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem, elkészítem, s mód lesz, a parallelákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nincs kitalálva, de az az út, melyen mentem, csaknem bizonyoson ígérte a cél elérésit, ha az egyébiránt lehetséges; nincs meg, de olyan fenséges dolgokat hoztam ki, hogy magam is elbámultam, s örökös kár volna elveszni; ha meglátja Édes Apám, megesmeri; most többet nem szóllhatok, csak annyit: hogy semmiből egy újj más világot teremtettem; mindaz, valamit eddig küldöttem, csak kártyaház a toronyhoz képest”<!-- IDÉZETBEN NE JAVÍTSD A HELYESÍRÁST --><br />Bolyai János levele Bolyai Farkashoz, 1823. november 3.<ref>{{cite book | title = Bolyai-levelek | pages = 158}}</ref>}}
[[1820]] és 1823 között dolgozta ki és írta meg korszakalkotó felfedezését: a nemeuklideszi geometriát, amelyet [[abszolút geometria|abszolút]], illetve [[hiperbolikus geometria|hiperbolikus geometriának]] neveztek neves kortársai. Ő maga így fogalmazta meg felfedezését, melyet apjának írt egy levelében: „semmiből egy új, más világot teremtettem” (1823). 1826-ban katonai parancsnokának, Johann Wolter von Eckwehr századosnak, átadott egy kéziratot, amely nemeuklideszi geometriai vizsgálatainak összefoglalását tartalmazta, azonban ennek a kéziratnak nyoma veszett.<ref name="KissE2">{{cite book | author = Kiss Elemér | title = Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából | publisher = Akadémiai Kiadó, Typotex Kiadó | location = Budapest | year = 1999 | url = {{MEK|05300/05321}} | id = ISBN 963-05-7612-0}}</ref> Tudományos felfedezése végül 1832-ben ''[[Appendix]]'' címen apja ''Tentamen''-je első kötetének függelékeként jelent meg, melyet francia és német nyelvre fordítottak le.<ref>Magyar fordítása, [[Rados Ignác]] munkája, csak 1914-ben jelent meg, lásd: {{cite book | title = Magyar életrajzi lexikon | chapter = Rados Ignác | chapterurl = {{MEK|00300/00355/html/ABC12527/12618.htm}} | accessdate = 2009-09-03}}</ref>
A szakirodalom [[Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometria|Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriának]] nevezi a [[párhuzamossági axióma]] tagadásán alapuló geometriákat. Az orosz [[Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij]] ugyanis Bolyaitól függetlenül jutott ugyanerre a felfedezésre.<ref>{{cite book | author = [[Bourbaki-csoport|Nicolas Bourbaki]] | title = Éléments d'histoire des mathématiques | publisher = Masson | location = Paris | year = 1984 | id = ISBN 978-3-540-33938-0 | pages = 26 | language = francia }}</ref> A róluk sokáig folytatott elsőbbségi vita azonban nemcsak ezért nem dönthető el, hanem mert Bolyai a hiperbolikus geometriánál általánosabb abszolút geometriai vizsgálatokat is folytatott, míg Lobacsevszkij – némileg előbb ugyan, mint Bolyai – pusztán hiperbolikus geometriával foglalkozott. Míg Lobacsevszkij a párhuzamossági axióma tagadásán alapuló geometriai rendszert épített fel, Bolyai olyan tételeket keresett, amelyek az axióma igaz vagy hamis voltától függetlenül bizonyíthatóak.<ref>{{cite book | author = Roberto Bonola | title = Non-Euclidean Geometry | publisher = Dover Publications Inc. | id = ISBN 0-486-60027-0 | pages = 96 | language = angol}}, [{{MEK|00800/00852/#}} kiadatlan magyar fordítása] a MEK-ben megtalálható</ref><ref>{{cite book | author = Howard Eves | title = Foundations and Fundamental Concepts of Matehmatics | publisher = Dover Publications Inc. | pages = 61 | language = angol}}</ref> Az [[1860-as évek|1860-as]] és [[1870-es évek|70-es években]] [[Arthur Cayley]] és [[Felix Christian Klein|Felix Klein]] kimutatta az alapvető összefüggéseket az euklidészi, nemeuklidészi és [[projektív geometria]] között, megadva ezzel Bolyai és Lobacsevszkij elméletének a teljes elismerést.<ref>{{cite book | author = Dirk J. Struik | title = A matematika rövid története | publisher = Gondolat Kiadó | year = 1958 | pages = 192}}</ref><ref>{{cite book | title = Kleine Enzyklopädie. Mathematik | publisher = VEB Verlag Enzyklopädie | location = Leipzig | year = 1970 | pages = 764 | language = német}}</ref>
[[Fájl:Appendix.jpg|right|bélyegkép|Az Appendix egyik oldala]]
1831-ben Bolyai Farkas fia kérésére elküldte Gaussnak az Appendixben leírt nagy felfedezést,<ref>{{cite book | title = Bolyai-levelek | pages = 163–173}}</ref> de a levél – talán a [[1831-es kolerajárvány|kolerajárvány]] miatt – elkallódott, így csak a következő, 1832-es levél jutott el a címzetthez.<ref>{{cite book | title = Bolyai-levelek | pages = 174–175}}</ref> Gauss nagyon szűkszavú volt a dicsérettel. Ami a legfájóbb volt, azt közölte a levelében, hogy ha megdicsérné Bolyait, akkor önmagát dicsérné, mivel ő is erre a felismerésre jutott, de nem volt bátorsága azt papírra vetni.<ref>{{cite book | author = Robert Osserman | title = Geometrie des Universums: von der Göttlichen Komödie zu Riemann und Einstein | publisher = Vieweg + Teubner Verlag | year = 1997 | id = ISBN 978-3-528-06902-5 | pages = 57 | language = német }}</ref> Gaussban valóban felmerült a nemeuklidészi geometria gondolata, ezt a hagyatékában talált iratok, illetve levelei bizonyítják, azonban külön megkérte a címzetteket, hogy elgondolásait tartsák titokban.<ref>{{cite book | author = Weszely Tibor | title = Bolyai Farkas a matematikus | publisher = Tudományos Könyvkiadó | location = Bukarest | year = 1974 | pages = 47}}</ref>
Bolyai János [[1850]]-ben elkezdte egy [[axióma|axiómákra]] alapozott geometriai rendszer kidolgozását, de a ''Raumlehre'' (Tértan) című német nyelvű kézirat befejezetlen maradt. Ebben Bolyai a fél évszázaddal később megszülető [[topológia]] alapjait rakta le.<ref>{{cite journal| author = Vekerdi László | title = A Bolyai-kutatás változásai | journal = Természet Világa | year = 1981 | volume = 112 | issue = 2 | pages = 56–58 | url = http://www.kfki.hu/~tudtor/tallozo1/bkut.html | accessdate = 2009-09-04}}</ref>
A komplex számokról írott műve, a ''Responsio'' (1837) a [[lipcse]]i Jablonowszky Társaság pályázatára készült, amelyre (a szintén pályázó) Bolyai Farkas hívta fel figyelmét. Az általa ''elegy nyi'' vagy ''elegyes szám'' névvel illetett<ref name="KissE2"/> komplex számokat, a kortárs [[William Rowan Hamilton|Hamiltonhoz]] hasonlóan rendezett valós számpárként fogta fel; a komplex számok mértani alkalmazását illetően visszautalt az ''Appendix''-ben kifejtett geometriájára, amelyet a bírálók nem ismertek. Az elmélet szokatlansága és a pályázat vázlatos kidolgozása miatt a bírálók nem értékelték a művet érdemének megfelelően.<ref name="Weszely"/> Bolyait lesújtotta ugyan a sikertelenség, ennek ellenére tovább foglalkozott a komplex számokkal. Az volt a célja, hogy a [[számelmélet]] egyes fogalmait és tételeit a komplex számokra is kiterjessze, foglalkozott többek között a komplex számok kongruenciájával is.<ref name="Weszely"/>
Számelméleti kutatásainak legfontosabb eredménye, hogy a [[kis Fermat-tétel]] bizonyításával próbálkozva, rátalált az első [[Fermat-prímteszt#Álprímek|álprímszámra]] (341); ez volt a példa, amely a tétel fordítottjának hamisságát igazolta. További ellenpéldákat keresve, megalkotta azt a módszert, amelyet ma [[Jeans-tétel|Jeans tétele]] néven ismernek.<ref name="Weszely"/><ref name="KissE1">{{ cite journal | url = http://www.kfki.hu/~tudtor/tallozo1/kisse1.html | author = Kiss Elemér | title = Foglalkozott-e számelmélettel Bolyai János? | journal = Természet Világa | year = 1996 | volume = 127 | issue = 8 | pages = 344–348}}</ref> Új bizonyítást keresett [[Fermat karácsonyi tétele|Fermat karácsonyi tételére]], és hármat is talált, mindegyik egyszerűbb volt, mint [[Leonhard Euler|Euleré]].<ref name="KissE1"/>
Noha Bolyai elsősorban a geometria terén kifejtett munkássága miatt híres, sokat foglalkozott az [[algebrai egyenlet]]ek elméletével is. Éveken át dolgozott a négynél magasabb fokú egyenletek megoldásával, mivel a tudományos élettől távol, vidéki elszigeteltségében [[Niels Henrik Abel|Abel]] és [[Évariste Galois|Galois]] munkái nem jutottak tudomására. Két töredékes kéziratában ő is arra az eredményre jutott, hogy a négynél magasabb fokú általános algebrai egyenleteknek nincs [[megoldóképlet]]e.<ref name="Weszely"/>
=== Filozófia ===
|
