„Van der Waerden-tétel” változatai közötti eltérés

Tegyük fel, hogy ''k''-ra már tudjuk az eredményt és <math>W(k+1,r)</math> létezését szeretnénk igazolni. Ehhez készítsük el a következő <math>f(0),f(1),\dots,f(r)</math> sorozatot: <math>f(0)=1</math> és ha <math>f(s)</math> megvan, legyen <math>f(s+1)=2MN</math>, ahol <math>N=f(s)</math> és <math>M=W(k,r^N)</math>. ''s''-re indukcióval igazoljuk a következő állítást: ha az <math>\{1,\dots,f(s)\}</math> számokat ''r'' színnel színezzük, akkor vagy van ''k''+1 hosszú egyszínű számtani sorozat, vagy van ''s'' olyan ''k''+1 hosszú számtani sorozat, <math>A_1,\dots,A_s</math>, hogy az <math>A_i</math>-k utolsó tagja közös, e tagot elhagyva pedig minden <math>A_i</math> egyszínű és e színek különbözők.