„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Visszavontam Disznoperzselo (vita) szerkesztését (oldid: 14019660) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
132. sor:
Igazoljuk, hogy <math>a^8+b^8+c^8\ge a^4b^3c+b^4c^3a+c^4a^3b </math> (a, b, c poz. valós számok).
Bizonyítás: <math>a^4b^3c=(a^{32}b^{24}c^8)^{1/8}=(a^8a^8a^8a^8b^8b^8b^8c^8)^{1/8}\le\frac{4a^8+3b^8+c^8}8</math>. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.
=== Az <math>\sqrt[n]{n}</math> sorozat hatarértéke===
Megmutatjuk, hogy <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center>
=== Az <math>(1+ \frac{1}{n})^n</math> sorozat szigorúan monoton növekedő===
Azt kell igazolni, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} \ge (1+ \frac{1}{n})^{n}</math>. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}.
</math></center>
Ugyanígy igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is szigurúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.
== A tétel súlyozott változata ==
| |||