„Húrtrapéz” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Lazító jellegű, folyékonyabb bevezető írása |
||
1. sor:
{{másolmány|2=szócikk|url=}}
{{forma}}
{{tataroz}}
'''''Húrtrapézoknak''''' azokat a négyszögeket nevezzük, amelyekre igaz ''mindkét'' alábbi tulajdonság:
# az egyik oldaluk párhuzamos a vele szemközti oldallal, vagyis van legalább egy párhuzamos oldalpárjuk; '''''és'''''
# írható köréjük kör, vagyis van olyan kör, amelyre mind a négy csúcsuk illeszkedik.
Tehát, a négyszögek közül azokat nevezzük húrtrapézoknak, melyek trapézok is (első tulajdonság), és húrnégyszögek is (második tulajdonság).
Ezt a fogalmat érdemes bevezetni, mert a húrtrapézokra sok érdekes, nemtriviális (nem magától értetődő) összefüggés teljesül. Csak néhány példa: Minden húrtrapéznak egyenlőek az átlói egymással. Minden húrtrapéz egyúttal tengelyesen szimmetrikus is. Egyébként ez a két említett összefüggés fordítva nem teljesül: könnyű olyan, egyenlő átlókkal rendelkező négyszöget találni, amely nem húrtrapéz, és az sem igaz, hogy minden tengelyesen szimmetrikus négyszög húrtrapéz lenne (ellenpéldaként itt is könnyen lehet olyan deltoidot mutatni, ami köré sem kör nem írható, és párhuzamos oldalai sincsenek, tehát nem lehet húrtrapéz, noha tengelyesen szimmetrikus).
Ugyanakkor sok olyan összefüggés is van, amelyek „megfordíthatóak”. Pl. minden húrtrapéznak van két egyenlő, egymással szomszédos szöge, és a másik két egymással szomszédos szögpárjuk is egyenlő egymással. Ez a tulajdonság megfordítható: minden olyan négyszög, amelynek van két-két egyenlő szomszédos szöge, egyúttal húrtrapéz is.
Másik példa az ilyen értelemben „megfordítható” összefüggésre: minden húrtrapéz egyúttal olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek szimmetriatengelye nem halad át csúcson. Ez a tulajdonság is megfordítható. Ha egy négyszögről csak annyit tudunk, hogy tengelyesen szimmetrikus és szimmetriatengelyére nem illeszkedik csúcs, akkor az a négyszög egyúttal biztosan húrtrapéz is.
Megfordítható az alábbi összefüggés is: minden húrtrapézra igaz, hogy tengelyesen szimmetrikus, és csúcsai közül kettő-kettő épp egymás tükörképe.
A „megfordítható” összefüggések léte azt jelenti, hogy valójában a húrtrapéz-„tulajdonságot” másféle, de egyenértékű (ekvivalens) definícióval is megfogalmazhatjuk.
# „Húrtrapézoknak nevezzük azokat a négyszögeket, amelyek húrnégyszögek '''''és''''' egyúttal trapézok is”
# „Húrtrapézoknak nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek két-két szomszédos szögük egyenlő”
# „Húrtrapézoknak nevezzük azokat a tengelyesen szimmetrikus négyszögeket, amelyek szimmetriatengelye nem halad át csúcson”
# „Húrtrapézoknak nevezzük azokat a tengelyesen szimmetrikus négyszögeket, amelyek csúcsai közül kettő-kettő épp egymás tükörképe”
Ennek megfelelően a húrtrapézok fogalmát ezek közül az egymással ekvivalens tulajdonságok közül bármelyikkel definiálhatjuk. Mindegy, hogy az 1., 2., 4. vagy 4. tulajdonság alapján döntjük el a négyszögekről, hogy húrtrapéz-e vagy sem: mindegyik definíció az összes négyszög halmazából ugyanazt a részhalmazt jelöli ki. Ez azonban egyáltalán nem nyilvánvaló: geometriai bizonyítások igazolják azt, hogy különbözőképpen felépített meghatározások, tulajdonságok valójában ugyanazt a részhalmazt jelölik ki az összes lehetséges négyszögek halmazából.
Ennek megfelelően, sok szakmunka, matematikai könyv a „húrtrapéz” fogalmát máshogy definiálja, mint ennek a cikknek a nyitásában, vagyis az ott olvasható meghatározás helyett egy ezzel egyenértékű másik meghatározást használ. Sőt, a „húrtrapéz” kifejezés helyett is más kifejezést olvasható sok műben. Van könv, amely a „szimmetrikus trapéz” kifejezést használja, másutt „egyenlő szárú trapéz” kifejezés szerepel, sőt eseti szóhasználattal az „egyenlő szögű trapéz” kifejezés is előfordul. Mindezek alatt a fogalmak alatt ugyanazt kell érteni abban az értelemben, hogy az összes négyszögek halmazából mindezek a szakszavak ugyanazt a részhalmazt nevezik meg.
---
("szimmetrikus trapéz", néhány tárgyalásban: "egyenlő szárú trapéz"): Olyan négyszög, amelynek van két-két egyenlő szomszédos szöge.[1] Azokat az oldalakat, amelyeken az egyenlő szögek fekszenek, alapoknak nevezzük, a másik két oldalt száraknak. A fenti meghatározáson túl sok más ekvivalens tulajdonság is létezik, amik szintén lehetséges definícióként választhatóak, ez részben tükröződik az alakzatot megnevező szinonimák sokaságában is.
| |||