Wikipédia

„Belső rész (topológia)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
1. sor:
{{építés alatt}}
[[Image:Interior illustration.svg|right|thumb|Az ''x'' pont ''S'' egy belső pontja, mivel létezik olyan ''x'' középpontú nyílt gömb amelyet az ''S'' teljesen magában foglal. Az ''y'' pont ''S'' [[határpont (matematika)|határpontja]].]]
A '''belső rész''' egy [[Topológia|topológiai]] fogalom. Egy ''S'' halmaz '''belső része''' azon ''S-''beli pontok [[halmaz|halmaza]] amelyek nem eleme ''S ''[[Határ (matematika)|határának]]. Ezeket a pontokat ''S'' '''belső pontjainak''' hívjuk.
 
Ezzel ekvivalens definíció szerint ''S'' belső része az ''S ''[[Komplementer (egyértelműsítő lap)|komplementerének]] a [[Halmaz lezártja|lezártjának]] a komplementere. Ebből következően valamilyen szinten a halmazok lezártja és a belső része szorosan összetartozó fogalmak.
 
Egy halmaz '''külső része''' pedig megegyezik a halmaz [[Komplementer (egyértelműsítő lap)|komplementerének]] a belső részével, vagy másképp, a halmaz lezártjának a komplementerével. Egy halmaz '''külső része''' azon pontok halmaza, amelyek nem elemei sem a halmaznak sem a halmaz [[Határ (matematika)|határának]]. A egy halmaz belső része, a határa és a külső része a teljes topologikus teret 3 (vagy kevesebb ha valamelyik [[üres halmaz]]) diszjunkt részre partícionálja. A belső rész és a külső rész mindig [[Nyílt halmaz|nyitott halmazok]] míg a határ mindig [[zárt halmaz]]. Azokat a [[halmaz|halmazokat]] amely belső része üres halmaz, '''határhalmazoknak '''nevezzük.<ref>{{Cite journal
| last = Kuratowski
| first = Kazimierz
21. sor:
== Definíciók ==
=== Belső pont ===
Ha ''S'' egy euklidészi tér részhalmaza, akkor ''x, S ''belső pontja ha létezik olyan [[nyílt halmaz]] (gömb)aminek ''x'' középponttalelme és ami ''S ''részhalmaza.
 
ThisEz definitiona generalizes to any subset ''S'' ofdefiníció a [[metricMetrikus spacetér|metrikus térben]] ''X''értelmezett belső pont definíció kiterjesztése. FullyHa expressed, ifugyanis ''X ''metrikus is a metric space with metrictér ''d ''metrikával, thenakkor ''x'' isS an interior point of ''S''belső ifpontja thereha existslétezik ''r'' > 0, suchúgy, thathogy bármely, ''y '' is ineleme ''S''-nek wheneverakkor theha distanceha ''d''(''x'', ''y'') < ''r.''.
 
A topologikus terek esetén a nyílt halmazt (gömböt) lecseréli a k[[Környezet (matematika)|örnyezet]] fogalma. Legyen ''S ''egy [[Részhalmaz|részhalmaza]] az ''X ''[[Topologikus tér|topologikus térnek]]. Ekkor ha ''x S ''belső pontja akkor létezik ''x''-nek egy környezete amely részhalmaza ''S-''nek. Ez a definíció nem követeli meg a környezetek [[nyílt halmaz|nyitottságát]].
This definition generalises to [[topological space]]s by replacing "open ball" with "[[Neighbourhood (mathematics)|neighbourhood]]". Let ''S'' be a subset of a topological space ''X''. Then ''x'' is an interior point of ''S'' if there exists a neighbourhood of ''x'' which is contained in ''S''. Note that this definition does not depend upon whether neighbourhoods are required to be open. If neighbourhoods are not required to be open then ''S'' will automatically be a neighbourhood of ''x'' if ''S'' contains a neighbourhood of ''x''.
 
=== InteriorEgy ofhalmaz abelső setrésze ===
Egy ''S ''halmaz belső része ''S ''összes belső pontjának a halmaza. A belső részt int(''S''), Int(''S''), vagy ''S''<sup>o</sup>-el jelölik. A belső részre a következők igazak:
 
*int(''S'') az ''S ''halmaz egy nyílt részhalmaza.
The '''interior''' of a set ''S'' is the set of all interior points of ''S''. The interior of ''S'' is denoted int(''S''), Int(''S''), or ''S''<sup>o</sup>. The interior of a set has the following properties.
*int(''S'') az összes lehetséges nyílt halmaz uniója amelyeket ''S'' [[Részhalmaz|bennfoglal]].
 
*int(''S'') isa anlegnagyobb [[Opennyílt set|open]]halmaz subsetamely ofrészhalmaza ''S''-nek.
*int(Egy ''S '')halmaz isnyílt theakkor unionés ofcsak allakkor openha sets contained''S'' in= int(''S'').
*int(int(''S'')) is the largest open set contained in= int(''S'') ([[idempotencia]]).
*A setHa ''S '' is open [[if and only if]]részhalmaza ''ST''-nek =akkor int(''S'') is részhalmaza int(T)-nek.
*Ha ''A'' egy [[nyílt halmaz]] akkor, akkor és csak akkor részhalmaza ''S''-nek ha ''A ''részhalmaza int(S)-nek.
*int(int(''S'')) = int(''S'') ([[idempotent|idempotence]]).
*If ''S'' is a subset of ''T'', then int(''S'') is a subset of int(''T'').
*If ''A'' is an open set, then ''A'' is a subset of ''S'' if and only if ''A'' is a subset of int(''S'').
 
Sometimes the second or third property above is taken as the ''definition'' of the topological interior.
78 ⟶ 76 sor:
 
== Exterior of a set ==
{{main|ExteriorKülső rész (topologytopológia)}}
The '''exterior''' of a subset ''S'' of a topological space ''X'', denoted ext(''S'') or Ext(''S''), is the interior int(''X''&nbsp;\&nbsp;''S'') of its relative complement. Alternatively, it can be defined as ''X''&nbsp;\&nbsp;''S''<sup>—</sup>, the complement of the closure of ''S''. Many properties follow in a straightforward way from those of the interior operator, such as the following.
 
106 ⟶ 104 sor:
==Külső hivatkozások==
*{{PlanetMath|id=3123|title=Interior}}
 
{{Functional Analysis}}
 
[[Category:General topology]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Belső_rész_(topológia)”