„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Robot: Automatikus szövegcsere (-<sup>2<sup> +<sup>2</sup>) |
a Robot: Automatikus szövegcsere (-<sup>3<sup> +<sup>3</sup>) |
||
15. sor:
Ez azt jelenti, hogy ''f'' értékeinek ''f(a)''-tól való eltérése kifejezhető az '''A'''(''x'' - ''a'') lineáris kifejezés és az ε(x) "nemlineáris" tag összegeként, mely utóbbi folytonos ''a''-ban, ott nulla értékű és ''x = a'' esetén sokkal erősebben (magasabb rendben) válik nullává, mint '''A'''(''x'' - ''a''), azaz
:<math>f(x)=f(a)+\mathbf{A}(x - a)+\mathbf{\varepsilon}(x)</math>
Itt az ''x'' <math>\mapsto</math> f(a) + '''A'''(''x'' - ''a'') leképezés konstans + lineáris alakú, azaz affin leképezés. Szemléletes jelenése, hogy ''x'' <math>\mapsto</math> f(a) + '''A'''(''x'' - ''a'') képe '''R'''<sup>n<sup>-ben az ''f'' képének érintőegyenese - ha ''f'' görbét határoz meg - és érintősíkja, ha ''f'' felületet határoz meg (persze ezek a fogalmak csak '''R'''<sup>2</sup> és '''R'''<sup>3</sup> esetén bírnak geometriai jelentéssel).
==Jacobi-mátrix, deriválttenzor==
49. sor:
'''Megjegyzés'''. 1) A Fréchet-féle differenciálhatóság kiterjeszthető normált terek között ható függvényekre is (lásd később). Ha az ''f'' : '''R'''<math>\mapsto</math> ''E'' függvény normált algebrába képez (például négyzetes mártixok közé), akkor az ''E'' algebra <math>\cdot</math> (nem feltétlenül kommutatív) szorzása esetére (mátrixok esetén ez a mártrixszorzás) hasonló összefüggés áll fenn, mint az előbb a skaláris szorzásra. Ha ''f'' és ''g'' : '''R'''<math>\mapsto</math>''E'' (ahol ''E'' normált algebra) az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvény, akkor az ''f'' <math>\cdot</math> ''g'' függvény is totálisan differenciálható és differenciálja:
:<math>(f\cdot g)'(a)=f'(a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g'(a)</math>
2) Az '''R'''<sup>3</sup>
<math>\mapsto</math>'''R'''<sup>3</sup> típusú függvények esetén a [[vektoranalízis]] ismer egy összefüggést a skaláris szorzás deriválására, ám ez feltételezi olyan [[differenciáloperátor]]ok ismeretét, mint a [[gradiens]], a [[rotáció]] és a "v grad". Ekkor az '''u''' és '''v''' függvények skaláris szorzatának deriváltja (mely ebben az esetben a grad('''u'''<math>\cdot</math>'''v''') kifejezés):
:<math>grad(\mathbf{uv})=(\mathbf{v},grad)\mathbf{u}+(\mathbf{u},grad)\mathbf{v}+\mathbf{v}\times rot\,\mathbf{u} +\mathbf{u}\times rot\,\mathbf{v}</math>
| |||