„Szögfüggvények” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
189. sor:
== Definíció differenciálegyenletekkel ==
Mind a szinusz, mind a koszinusz függvény kielégíti az alábbi [[differenciálegyenlet]]et:
:<math>y\,''(x)=-y(x).</math>
A kétdimenziós ''V'' [[vektortér]]en belül, mely az egyenlet összes megoldását tartalmazza, a szinusz függvény az egyetlen megoldás, amely kielégíti az ''y''(0) = 0 és ''y''′(0) = 1 kezdeti feltételeket, a koszinusz függvény pedig a az egyetlen megoldás, amely kielégíti az ''<math>y''(0) = 1</math> és ''y''′(0) = 0 kezdeti feltételeket. Ez a definíció teljesen egyenértékű az Euler-formulával. Ez a differenciálegyenlet nemcsak a szinusz és koszinusz definíciójára használható, hanem alkalmas arra is, hogy segítségével igazolhatók legyenek a szinusz és koszinusz függvényre felírható [[szögfüggvények azonosságai|azonosságok]] is.
A tangens függvény az egyetlen, mely kielégíti az alábbi nemlineáris differenciálegyenletet:
:<math>y\,'=1+y^2</math>
az ''y''(0) = 0 kezdeti feltétellel.
== Komplex szögfüggvények ==
A szinusz és a koszinusz hatványsoruk, az Euler-formula, vagy differenciálegyenlet segítségével [[reguláris függvény|reguláris]]an kiterjeszthető a komplex számsíkra. Ezzel a kiterjesztéssel nem lesznek újabb zérushelyek, és továbbra is teljesülnek a függvényegyenletek, de a korlátosság elvész.
| |||