„Zorn-lemma” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Robot: Kiskötőjel cseréje gondolatjelre |
a Robot: Automatikus szövegcsere (-<sub>(.{1,5})<sub> +<sub>\1</sub>) |
||
40. sor:
Ugyanis legyen <math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math> a ''P'' összes olyan láncainak halmaza, melyek tartalmazzák ''L''-et. Tekintsük az (<math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math>,⊆) részbenrendezett halmazt. Ha <math>\mbox{ }_{\mathfrak{L}_1}</math> ⊆ <math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math> lánc (<math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math>,⊆)-ben, akkor [[unió (halmazelmélet)|U]]<math>\mbox{ }_{\mathfrak{L}_1}</math> lánc ( ''P'' , ≤ )-ben, tehát eleme <math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math>-nek és egyeben felső korlátja is <math>\mbox{ }_{\mathfrak{L}_1}</math>-nek. (<math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math>,⊆)-re tehát alkalmazhatjuk a Zorn-lemma állítását, azaz létezik M ∈ <math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math> maximális elem, mely tartalmazza L-et. (Ha ez nem lenne maximális P-ben is, akkor lenne L-et tartalmazó ''bővebb'' P-beli lánc, ami ellentmond ''M'' <math>\mbox{ }_\mathfrak{L}</math>-beli maximális voltának.)
'''Következmény''' – Ha ( ''P'' , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz, melynek minden részlánca korlátos, akkor minden ''a'' ∈ ''P'' elemhez létezik olyan ''m''<sub>''a''</sub> maximális elem ''P''-ben, hogy ''a'' ≤ ''m''<sub>''a''</sub>.
Az előző tételt alkalmazhatjuk. Van tehát {''a''}-t részként tartalmazó maximális ''M'' lánc, amely a feltétel szerint felülről korlátos és a Zorn-lemma alapján van maximális eleme. Ez ''P''-ben is maximális, mert ellenkező esetben valódi módon kibővíthető volna ''M'' ami ellentmond ''M'' maximális részlánc tulajdonságának.
| |||