„Generátorrendszer (lineáris algebra)” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
== Definíció ==
Az ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' [[vektor|vektorokat]] a ''V'' [[vektortér]] '''generátorrendszerének''' nevezzük, ha ''V'' minden eleme előáll az ''a''<sub>i</sub> [[vektor|vektorok]] [[lineáris kombináció|lineáris kombinációjaként]].▼
▲Az '''a'''<sub>1</sub>,
== Példák ==
* minden bázis egyben egy generátorrendszerv is,
* maga a ''V'' vektortér is generátorrendszer,
== Tulajdonságok ==
Ha egy generátorrendszert további vektorokkal bővítjük, akkor még mindig generátorrendszer marad, azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak.<br>
* Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.
Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.<br>
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a [[Zorn-lemma|Zorn-lemmát]] vagy a [[kiválasztási axióma]] valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.
== Lásd még ==
* [[Line%C3%A1ris_algebra|Lineáris algebra]]
* [[Line%C3%A1ris_f%C3%BCggetlens%C3%A9g|Lineáris függetlenség]]
* [[Line%C3%A1ris_lek%C3%A9pez%C3%A9s|Lineáris leképezés]]
* [[Vektort%C3%A9r|Vektortér]]
|