„Generátorrendszer (lineáris algebra)” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
aNincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
== Definíció ==
Az ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' [[vektor|vektorokat]] a ''V'' [[vektortér]] '''generátorrendszerének''' nevezzük, ha ''V'' minden eleme előáll az ''a''<sub>i</sub> [[vektor|vektorok]] [[lineáris kombináció|lineáris kombinációjaként]].
Például minden bázis egyben generátorrendszer, de maga ''V'' is az. Ha egy generátorrendszerhez további elemeket adunk, még mindig generátorrendszer marad, azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak. Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist. Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet. Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a [[Zorn-lemma|Zorn-lemmát]] vagy a [[kiválasztási axióma]] valamelyik más ekvivalensét kell használni.
 
Az '''a'''<sub>1</sub>,..., '''a'''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' [[vektor|vektorokat]] a ''V'' [[vektortér]] '''generátorrendszerének''' nevezzük, ha ''V'' minden eleme előáll az '''a'''<sub>i</sub> [[vektor|vektorok]] [[lineáris kombináció|lineáris kombinációjaként]].<br>
 
== Példák ==
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 júniusából}}
 
* minden bázis egyben egy generátorrendszerv is,
* maga a ''V'' vektortér is generátorrendszer,
 
== Tulajdonságok ==
 
Ha egy generátorrendszert további vektorokkal bővítjük, akkor még mindig generátorrendszer marad, azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak.<br>
 
* Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.
 
Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.<br>
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a [[Zorn-lemma|Zorn-lemmát]] vagy a [[kiválasztási axióma]] valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.
 
== Lásd még ==
 
* [[Line%C3%A1ris_algebra|Lineáris algebra]]
* [[Line%C3%A1ris_f%C3%BCggetlens%C3%A9g|Lineáris függetlenség]]
* [[Line%C3%A1ris_lek%C3%A9pez%C3%A9s|Lineáris leképezés]]
* [[Vektort%C3%A9r|Vektortér]]
71

szerkesztés