Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
== Hibabecslés ==
Tetszőleges pozitív egész <nowiki><math>N</math></nowiki> esetén vezessük be a következő jelöléseket:
<nowiki><math>\log \Gamma \left( z \right) = \left( {z - \frac{1}{2</nowiki><nowiki>}}</nowiki> \right)\log z - z + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) + \sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)z^{2k - 1} }}} + R_N \left( z \right)<nowiki></math></nowiki>
és
<nowiki><math>\Gamma \left( z \right) = \left( {\frac{z}{e</nowiki><nowiki>}}</nowiki> \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z<nowiki>}}</nowiki> \left( {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\frac{{c_k }}{{z^k }}} + \widetilde R_N \left( z \right)} \right).<nowiki></math></nowiki>
Ekkor <ref>F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, ''Note. Mat.'' '''10''' (1990), 453–470.</ref>
<nowiki><math>\left| {R_N \left( z \right)} \right| \le \frac</nowiki>{{\left| {B_{2N} } \right|}}{{2N\left( {2N - 1} \right)\left| z \right|^{2N - 1} }} \begin{cases} 1 & \text{ ifha } \left|\arg z\right| \leq \frac{\pi}{4}, \\ \left| {\csc (\arg z) } \right| & \text{ ifha } \frac{\pi}{4}<\left|\arg z\right| < \frac{\pi}{2}, \\ \sec^{2N}\left( \frac{\arg z}{2}\right) & \text{ ifha } \left|\arg z\right| < \pi,\end{cases}<nowiki></math></nowiki>
és <ref>G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, ''Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A'' '''145''' (2015), 571–596.</ref>
<nowiki><math>\leftbig | {\widetilde R_N \left( z \right)} \rightbig | \le \left( {\frac</nowiki>{{\left| {c_N } \right|}}{{\left| z \right|^N }} + \frac{{\left| {c_{N + 1} } \right|}}{{\left| z \right|^{N + 1} }}} \right) \begin{cases} 1 & \text{ ifha } \left|\arg z\right| \leq \frac{\pi}{4}, \\ \left| {\csc (\arg z) } \right| & \text{ ifha } \frac{\pi}{4}<\left|\arg z\right| < \frac{\pi}{2}.\end{cases}<nowiki></math></nowiki>
További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.
