„Kanonikus alak” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a más |
Syp (vitalap | szerkesztései) jelentős bővítés az angol cikk alapján |
||
1. sor:
{{más|Kanonizáció (egyértelműsítő lap)}}
A [[matematika]] és a [[számítástudomány]] területén egy [[matematikai objektum]] '''kanonikus alakja''', '''kanonikus formája''', illetve '''normál-''' vagy '''standard''' alakja alatt az a szabványos mód értendő, ahogy azt az objektumot [[matematikai kifejezés]]ként leírjuk. A „kanonikus” és „normál” alakok közti különbségtétel az egyes tudományterületeken más és más lehet. A legtöbb területen a kanonikus alak egyfajta ''unikális'', egyedi reprezentációja az adott objektumnak, míg a normál alak meghatározza a formai követelményeket, de nem követeli meg az unikalitást.
Például egy pozitív egész szám [[tízes számrendszer]]beli kanonikus alakja számjegyek véges sorozata, mely nem kezdődik nullával.
Általánosabban olyan objektumosztályra, amin [[ekvivalenciareláció]]t definiálunk, minden egyes osztályból egy specifikus objektum kiválasztásával határozható meg a '''kanonikus alak'''. Például a [[Mátrix (matematika)|mátrixok]] [[Jordan-féle normálforma|Jordan-féle normálformája]] a [[mátrixok hasonlósága]] szerinti kanonikus alak, a mátrix lépcsős alakja{{wd|Q2091296}} pedig akkor kanonikus alak, ha ekvivalensnek tekintjük a mátrixot egy [[invertálható mátrix]]szal való balszorzatával.
A számítástudományban, főként annak a szimbolikus számításokkal foglalkozó területén általában ugyanazt az objektumot számos különböző módon ki lehet fejezni. Ebben a kontextusban egy reprezentáció '''kanonikus alak'''ja olyan ábrázolás, ahol minden objektum egyedi reprezentációval rendelkezik. Így két objektum azonossága könnyen vizsgálható kanonikus alakjaik egyezésének vizsgálatával. A kanonikus alakok azonban gyakran önkényes választásoktól függenek (pl. a változók sorrendjétől), ami nehézséget okoz különböző számításokban szereplő objektumok egyenlőségének tesztelésében. Ezért a számítógépes algebrában használatos a gyengébb, „normál alak”. A '''normál alak''' olyan reprezentáció, melyben a nulla egyedi módon jeleníthető meg. Ez megengedi az egyenlőség tesztelését két objektum különbsége normálalakjának tesztelésével.
A számítástudományban a többfajta módon reprezentálható adatok unikális, kanonikus alakba való átalakítását [[kanonikalizáció]]nak nevezik.<ref>Gyakran és tévesen a [[kanonizáció]] kifejezést alkalmazzák erre.</ref>
==Meghatározás==
Tegyük fel, hogy létezik objektumok egy ''S'' halmaza, egy rajtuk értelmezett [[ekvivalenciareláció]]val. Az ''S''-ben lévő elemek akkor tekinthetők úgy, hogy '''kanonikus alakban''' vannak, ha minden szóba jövő elem pontosan egy kanonikus alakban lévő elemmel ekvivalens. Másképpen, az ''S''-ben lévő kanonikus alakok az ekvivalenciaosztályoknak feleltethetők meg. Két elem ekvivalenciájának ellenőrzéséhez elegendő kanonikus alakjaik egyenlőségét vizsgálni. A kanonikus alak így meghatároz egy [[osztályozási tétel]]t és ennél tovább is megy, nem csak minden osztályt besorol, hanem hozzájuk rendel egy megkülönböztetett (kanonikus) reprezentációt is.
A gyakorlatban nyilván szeretnénk, ha a kanonikus alakok felismerhetőek lennének. Egy praktikus, algoritmikus kérdés is felmerül: hogyan lehet átalakítani az ''S''-ben lévő ''s'' objektumot kanonikus ''s''* alakba? A kanonikus alakok általában arra jók, hogy az ekvivalenciaosztályokkal való műveletvégzést hatékonyabbá tegyék. Például a [[moduláris aritmetika]] területén egy maradékosztály kanonikus alakja általában a legkisebb nemnegatív egész szám. A maradékosztályokon végzett műveletek ezekkel a kanonikus alakokkal történnek, majd az eredményt újból redukálják a legkisebb nemnegatív maradékra.
Az egyediség követelményét néha kevésbé szigorúan értelmezik, megengedve, hogy az alakok valamilyen finomabb ekvivalenciareláció szerint legyenek csak egyediek, például megengedhetjük a kifejezés tagjainak átrendezését (ha nincs valamilyen természetes sorba rendezési lehetőség közöttük).
Egy kanonikus alak lehet egyszerűen egy kényelmes konvenció, vagy egy mély tétel eredménye.
Például a [[polinom]]okat hagyományosan kitevő szerinti csökkenő sorrendben szokás felírni: szokásosabb az ''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 30 alak, mint az ''x'' + 30 + ''x''<sup>2</sup>, bár mindkettő ugyanazt a polinomot határozza meg. Ezzel ellentétben a mátrixok [[Jordan-féle normálforma|Jordan-féle normálformáját]] nem csak megszokás, hanem egy mély elméleti tétel alapozza meg.
==Példák==
Megjegyzés: ebben a szakaszban a valamely E ekvivalenciareláció „[[erejéig]]” kifejezés azt jelenti, hogy a kanonikus alak nem teljesen unikális, de ha egy objektumnak lét különböző kanonikus alakja lehet, azok E-ekvivalensek.
=== Lineáris algebra ===
{| class="wikitable"
|-
! Objektumok
! ''A'' ekvivalens ''B''-vel, ha:
! Normálalak
! Jegyzet
|-
| [[Normális mátrix|Normális]] mátrixok [[komplex számok]] fölött
| <math>A=U^* B U</math> valamely ''U'' [[unitér mátrix]]ra
| [[Diagonális mátrix]]ok (átrendezés erejéig)
| Ez a [[spektrálfelbontás]]i tétel{{wd|Q1425077}}
|-
| Mátrixok komplex számok fölött
| <math>A=U B V^*</math> valamely ''U'' és ''V'' [[unitér mátrix]]okra
| Diagonálmátrixok pozitív valós értékekkel (csökkenő sorrendben)
| [[Szinguláris érték szerinti felbontás]] (SVD)
|-
| Mátrixok [[algebrailag zárt test]] fölött
| <math>A=P^{-1} B P</math> valamely ''P'' [[invertálható mátrix]]ra
| [[Jordan-féle normálforma]] (a blokkok átrendezésének erejéig)
|
|-
| Mátrixok [[algebrailag zárt test]] fölött
| <math>A=P^{-1} B P</math> valamely ''P'' [[invertálható mátrix]]ra
| [[Weyr-mátrix|Weyr-féle kanonikus forma]] (a blokkok átrendezésének erejéig)
|
|-
| Mátrixok test fölött
| <math>A=P^{-1} B P</math> valamely ''P'' [[invertálható mátrix]]ra
| [[Frobenius-normálforma]]
|
|-
| Mátrixok [[főideálgyűrű]] fölött
| <math>A=P^{-1} B Q</math> valamely ''P'' és ''Q'' [[invertálható mátrix]]okra
| [[Smith-normálforma]]
| Az ekvivalencia szerint megengedjük az invertálható elemi sor- és oszloptranszformációkat
|-
| ''K'' test fölötti véges dimenziós vektorterek
| ''A'' és ''B'' izomorf vektorterek
| <math>K^n</math>, ''n'' nem negatív egész szám
|
|}
=== Klasszikus logika ===
{{fő|Kanonikus alak (Boole-algebra)}}
* [[Negációs normálforma]]
* [[Konjunktív normálforma]]
* [[Diszjunktív normálforma]]
** [[Blake-féle kanonikus alak]] vagy diszjunktív prímforma
* [[Algebrai normálforma]]
* [[Prenex-formula|Prenex-normálforma]]
* [[Skolem-normálforma]]
=== Funkcionálanalízis ===
{| class="wikitable"
|-
! Objektumok
! ''A'' ekvivalens ''B''-vel, ha:
! Normálalak
|-
| [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]]
| Ha ''A'' és ''B'' mindkettő [[elválasztható tér|elválasztható]], végtelen dimenziós Hilbert-terek, akkor ''A'' és ''B'' izometrikusan izomorf.
| <math>\ell^2(I)</math> [[Hilbert-tér|Hilbert-féle]] [[sorozattér]] (az ''I'' indexhalmaz ugyanolyan [[számosság]]ú indexhalmazra cserélésének erejéig)
|-
<!-- please double-check this one -->
| Kommutatív <math>C^*</math>-algebrák
| ''A'' és ''B'' izomorfak mint <math>C^*</math>-algebrák
| A [[kompakt tér|kompakt]] [[Hausdorff-tér]] folytonos függvényeinek <math>C(X)</math> algebrája, az alaptér [[homeomorfizmus]]ának erejéig.
|}
=== Számelmélet ===
Pozitív egész szám '''kanonikus alak'''ja 1-nél nagyobb természetes számok [[prímfelbontás]]a során létrejött szorzat, prímszámok (prímhatványok) szorzata (megengedve az egytényezős szorzatot).
Bármely 1-nél nagyobb természetes szám felbontható [[prímszámok]] szorzatára. [[A számelmélet alaptétele]] szerint minden ilyen számnak – a prímtényezők sorrendjétől eltekintve – egyértelműen megadható a kanonikus alakja.
A <math>n=\prod p_i^{\alpha_i}</math> prímfelbontást nevezik a szám kanonikus alakjának (pl. <math>12=2^2\cdot 3</math>).
Az [[1 (szám)|1]] nem prímszám és nem bontható fel prímszámok szorzatára, így kanonikus alakja nincs. A prímszámok kanonikus alakja megegyezik önmagukkal (önmaguk első hatványával).<ref>Bege Antal: ''Bevezetés a számelméletbe.'' Kolozsvár: Scientia. 2002. 38–40. o. ISBN 973-85750-7-9</ref>
Lásd még: [[Kanonikus alakok listája|Kanonikus alakok listája (1–1000)]]
====Lánctörtek====
* [[Lánctört]]ek kanonikus alakja: egyszerű vagy reguláris
=== Algebra ===
{| class="wikitable"
|-
! Objektumok
! ''A'' ekvivalens ''B''-vel, ha:
! Normálalak
|-
| ''R''-[[főideálgyűrű]] felett végesen generált ''R''-[[Modulus (matematika)|modulusok]]
| ''A'' és ''B'' izomorf ''R''-modulusok
| [[főideálgyűrű fölötti modulusok alaptétele|Prímfelbontás (átrendezés erejéig) vagy invariáns faktorfelbontás]]
|}
=== Geometria ===
*Az egyenes egyenlete: ''Ax'' + ''By'' = ''C'', ahol ''A<sup>2</sup>'' + ''B''<sup>2</sup> = 1 és ''C'' ≥ 0
*A kör egyenlete: <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\,</math>
Léteznek persze a fenti egyenleteknek alternatív formái is. Például az egyenes egyenlete egy [[lineáris egyenlet]], ami felírható például pont–meredekség (<math>y - y_1 = m( x - x_1 )</math>), illetve Y tengellyel való metszéspont–meredekség (<math>y = mx + b</math>) alapján is.
=== Túl nagy, illetve túl kicsi számok normálalakja ===
A matematikusoknak és természettudósoknak gyakran extrém nagy számokat, vagy reciprokértékben extrém nagy számokat kell leírniuk. Ekkor a [[normálalak]] tömörebb és érthetőbb megoldás lehet. Például 0,009 = 9 · 10<sup>−3</sup>.
=== Halmazelmélet ===
* [[Rendszám (halmazelmélet)|Rendszámok]] [[Cantor-féle normálalak]]ja
=== Játékelmélet ===
* [[Játék normálalakja]]
=== Bizonyításelmélet ===
* [[Természetes levezetés]] normálalakja
===Kifejezés-újraíró rendszerek===
* Egy absztrakt [[kifejezés-újraíró rendszer]]ben a normálalak egy irreducibilis objektum.
=== Lambda-kalkulus===
* [[Béta-normálalak]], ha nem érhető el további β-redukció; a [[Lambda-kalkulus]] az absztrakt kifejezés-újraíró rendszerek speciális esete.
=== Dinamikus rendszerek ===
* [[Bifurkáció normálalakja]]
===Gráfelmélet===
{{fő|Gráfkanonikalizáció}}
===Differenciális alakok===
A kanonikus [[differenciális alak]]ok közé tartozik a [[tautologikus 1-forma]] és a [[kanonikus szimplektikus forma]], melyek fontos szerepet játszanak a [[Hamilton-féle mechanika]] és a [[szimplektikus sokaság]]ok tanulmányozásában.
=== Számítástudomány ===
A [[számítástudomány]] területén a bemeneti adatok valamely kanonikus alakra történő redukálását ''adatnormalizációnak'' nevezik.
Például az [[adatbázis-normalizáció]] során egy [[relációs adatbázis]] [[mező (informatika)|mezőinek]] és [[tábla (adatbázis)|tábláinak]] olyan átszervezése, ami az adatok [[redundancia|redundanciáját]] és függőségét minimalizálja.
Az [[alkalmazásbiztonság]] területén gyakori oka a [[sebezhetőség]]eknek az ellenőrizetlen, rosszindulatú bemeneti adat. Ez ellen leghatékonyabban a megfelelő [[adatvalidáció]]val lehet fellépni. Az adatvalidáció előtt a bemeneti adatokat normalizálni kell, például a különböző karakterkódolásokat egy közös [[karakterkészlet]]re kell konvertálni stb.
A [[jelfeldolgozás]] területén (ideérve a hang- és [[képfeldolgozás]] mellett a [[gépi tanulás]]i módszereket is) az adatok normalizálásán egy értéktartományra való korlátozásukat kell érteni.
==Kapcsolódó szócikkek==
* [[Kanonikalizáció]]
** [[Gráfok kanonikalizációja]]
* [[Kanonikus bázis]]
* [[Normalizáció]]
* [[Szabványosítás]]
==Jegyzetek==
<references/>
*{{citation | last=Shilov | first=Georgi E. | title=Linear Algebra | editor-last=Silverman | editor-first=Richard A. | date=1977 | publisher=Dover | isbn=0-486-63518-X }}.
*{{citation | last=Hansen | first=Vagn Lundsgaard | title = Functional Analysis: Entering Hilbert Space | date=2006 | publisher=World Scientific Publishing | isbn=981-256-563-9}}.
[[Kategória:Algebra]]
[[Kategória:Matematikai terminológia]]
[Kategória:Matematikafilozófia]]
[[de:Normalform]]
[[nl:Normaalvorm]]
| |||