„Abc-sejtés” változatai közötti eltérés

a
Javítgatások
a (Nemlineáris egybeírva és magyarul (nem non, sőt non non, nonono!) (kézi botszerkesztés))
a (Javítgatások)
{{kisbetűscím}}
{{rosszcím|abc-sejtés '''vagy''' ABC-sejtés}}
 
Az '''abc-sejtés''' két matematikai állítás összefoglaló neve, melyet [[David Masser]] (1985) és [[Joseph Oesterlé]] (1988) fogalmazott meg. Az egyik sejtés szerint az abc-számhármasok „minőségének” van egy maximális értéke. A másik sejtés pedig ezen minőségértékek számosságára tesz még szigorúbb kijelentést.
 
 
A sejtés pontos megértéséhez először meg kell ismerkedni az abc-számhármasok fogalmával és ezek néhány tulajdonságával.
 
== Abc-számhármasok ==
 
Az abc-számhármas három olyan különböző pozitív egész szám, melyre igaz a következő három állítás mindegyike:
 
1. <math>a + b = c</math>.
 
2. Az ''a'' és ''b'' számnakszámok [[relatív prímek]], azaz nincs 1-nél nagyobb közös osztója, tehát a két szám relatív prímosztójuk. (Az első két feltétel következménye, hogy akkor mind a három szám relatív prím.)
 
3. A ''c'' szám nagyobb, mint a három szám prímosztóinak szorzata (tehát ''abc'' radikálja, jele rad(''abc'')).
 
Végtelen sok ilyen abc-számhármas van. A bizonyításhoz tekintsük az a = 1, b = 9<sup>n</sup>-1, c = 9<sup>n</sup> számhármasokat, ahol n nullánál nagyobb egész. Ha minden n értékre abc-számhármast kapunk, igazoltuk, hogy végtelen sok ilyen számhármas létezik.
Végtelen sok ilyen abc-számhármas van.
A bizonyításhoz tekintsük az a = 1, b = 9<sup>n</sup>-1, c = 9<sup>n</sup> számhármasokat, ahol n nullánál nagyobb egész. Ha minden n értékre abc-számhármast kapunk, igazoltuk, hogy végtelen sok ilyen számhármas létezik.
 
Mielőtt a bizonyítást elkezdenénk, lássunk be egy segédtételt: b = 9<sup>n</sup>-1 mindig osztható 8-cal.
Mivel b osztható 8-cal, így b = 2<sup>3</sup> * m. A radikálnak a definícióból közvetlen következő tulajdonsága szerint rad(m)<=m. (Az egyenlőség négyzetmentes számok esetében áll fenn.) Ezért rad(b) <= 2*m. rad(a)=1 és rad(c)=3. Mivel a,b,c páronként relatív prímek, rad(abc) = rad(a)*rad(b)*rad(c). Ezért rad(abc) <= 2*3*m. Viszont c = 8*m+1, így igazolt, hogy c > rad(abc) így beláttuk, hogy minden n értékre a,b,c egy abc-számhármas.
 
== Az abc-számhármasok minősége ==
Az abc-számhármasokhoz hozzárendelhetünk egy mutatószámot (jele "q"). Ennek kiszámítása a harmadik feltételben is szereplő radikál segítségével történik (jele "rad(abc)". A minőség az a szám, ahányadik hatványra emelve a radikált, megkapjuk "c"-t.
 
Az abc-számhármasokhoz hozzárendelhetünk egy mutatószámot (jele "q"). Ennek kiszámítása a harmadik feltételben is szereplő radikál segítségével történik, (jele "rad(''abc'')". A minőség az a szám, ahányadik hatványra emelve a radikált, megkapjuk "c"-t.
Képlettel leírva: <math>rad(abc)^q = c</math>. Amiből következik, hogy a minőség számítása: <math>q = log(c) / log(rad(abc))</math>.
 
Képlettel leírva: <math>rad(abc)^q = c</math>. Amiből következik, hogy a minőség számítása: <math>q = \log(c) / \log(rad(abc))</math>.
 
Mivel az abc-számhármasok esetén a c szám mindig nagyobb, mint a radikál, a minőség mindig nagyobb, mint 1.
 
== Az abc-sejtés állításai ==
 
A matematikusok azt vették észre, hogy az abc-számhármasok minőségértéke minden esetben elég alacsony szám. 1,63-ot elérő számhármast még senki sem talált. A gyengébbik sejtés pontosan ezt fogalmazza meg: az abc-számhármasok minősége egy konkrét számértéket sosem halad meg. (Hogy mi ez a számérték, az már másodlagos kérdés, általában 2-nél kisebb számra gondolnak.)
 
Max(a,b,c)<= K * rad(abc)<sup>L</sup> alkalmas K, L konstansokra - ami a sejtés gyengébb formájának az egyik változata.
 
== Számítási példák ==
 
Keressünk abc-számhármast! Vegyünk két különböző pozitív egész számot (a-t és b-t), adjuk őket össze és megkapjuk c-t! Legyen a = 16, b = 17, vagyis c = 33.
 
Számoljuk ki a minőséget: q = log(6436343) / log(15042) = 6,80863918 / 4,17730558 = 1,62991168. Ennél nagyobb minőséget eddig még nem találtak.
 
== Kis radikálú példák ==
 
Az ε > 0 kikötésre szükség van, mivel végtelen sok ''a'', ''b'', ''c'' hármas van, amire rad(''abc'') < ''c''. Egyszerű példa a következő:
 
:''a'' = 1
: ''ba'' = 2<sup>6''n''</sup> − 1
: ''cb'' = 2<sup>6''n''</sup> − 1
: ''c'' = 2<sup>6''n''</sup>
 
ahol ''a'' és ''c'' egy kettes szorzó erejéig járul hozzá a radikálhoz, és mivel ''b'' osztható 9-cel, azért rad(''abc'') &lt; 2''c''/3. A 6''n'' kitevőt módosítva ''b''-nek nagyobb négyzetosztói lesznek. Például, ha 6''n'' helyett ''p(p-1)n''-et írunk, ahol ''p'' prímszám, akkor ''b'' osztható lesz ''p''<sup>2</sup>-tel, mivel 2<sup>''p(p-1)''</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) és 2<sup>''p(p-1)''</sup> - 1 tényezője lesz ''b''-nek. A legnagyobb minőségű hármasok alább láthatók; a legnagyobb minőséget Eric Reyssat találta {{harv|Lando|Zvonkin|2004|p=137}}:
 
:''a'' = 2
: ''a'' = 12
:''b'' = 3<sup>10</sup> 109 = {{szám|6436341}}
: ''cb'' = 233<sup>510</sup> 109 = {{szám|64363436436341}}
:rad( ''abcc'') = 23<sup>5</sup> = {{szám|150426436343}}
: rad(''abc'') = {{szám|15042}}
 
aminek minősége 1,6299.
 
== Számítógépes módszerek ==
 
2006-ban a hollandiai [[Leiden University]] és a [[Kennislink]] tudományos intézet elindította az [[ABC@Home]] projektet, amely nyilvános számítógépes hálózat segítségével keresi az abc-számhármasokat. Az alábbi listát állították össze 2011-ben, és a munka jelenleg is folyik.
 
|}
 
== Elméleti eredmények ==
 
Az abc-sejtés feltételeiből következik, hogy ''c'' korlátozható az ''abc'' radikáljával, ami egy nemlineáris függvény. Emellett ismertek a következő exponenciális korlátok:
 
: <math>c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) } </math> {{harv|Stewart|Tijdeman|1986}},
 
: <math>c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) } </math> {{harv|Stewart|Yu|1991}}, és
 
: <math>c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) } </math> {{harv|Stewart|Yu|2001}}.
 
ahol
 
*''K''<sub>1</sub> egy alkalmasan megválasztott konstans, ami nem függ ''a''-tól, ''b''-től vagy ''c''-től
* ''K''<sub>21</sub> ésegy alkalmasan megválasztott konstans, ami nem függ ''Ka''<sub>3</sub> csak ε-tól, függ''b''-től vagy ''c''-től
* ''K''<sub>2</sub> és ''K''<sub>3</sub> csak ε-tól függ
 
Ezek a korlátok érvényesek minden hármasra, ahol ''c''&nbsp;>&nbsp;2.
 
== Következményei ==
 
Az abc-sejtés számos következménye között találhatók már ismert eredmények, és találhatók más sejtések is, amelyek az abc-sejtés bizonyítása esetén szintén bizonyítottá válnak.
 
* A [[nagy Fermat-tétel]] a legismertebb példa. Az abc-sejtés felhasználásával elemi módszerekkel is beláthatóvá válna n>5 esetére. Az n= 3,4,5 esetekre viszont régről ismertek elemi bizonyítások. {{harv|Granville |2002}}
* A nagy Fermat-tétel általánosítása, a [[Fermat–Catalan-sejtés]]. {{harv|Pomerance|2008}}
* Minden egész ''A''-ra véges sok megoldása van az ''n''! + ''A''= ''k''<sup>2</sup> egyenletnek. Dąbrowski (1996)
 
== Általánosításai ==
{{Harvtxt|Baker|1998}} egy erősebb egyenlőtlenséget javasolt, ahol rad(''abc'')-t ε<sup>−ω</sup>rad(''abc'') helyettesíti, ahol ω ''a'', ''b'' és ''c'' különböző prímosztóinak összesített száma.{{Harv|Bombieri|Gubler|2006|p=404}}.
 
{{harvtxt|Browkin|Brzeziński|1994}} megalkotta az ''n''-sejtést, <math>\scriptstyle n \,>\, 2</math> egészekre.
 
== Hivatkozások ==
 
<references/>
 
* [http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html Az abc-sejtés honlapja] {{fr}}
* [http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/ Peter Woit blogja]
* [http://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378 Nature-cikk] (2012)
 
== Források ==
{{Refbegin}}
 
* {{cite book | last=Baker | first=Alan | authorlink=Alan Baker (mathematician) | chapter=Logarithmic forms and the ''abc''-conjecture | editor-last=Győry | editor-first=Kálmán | title=Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996 | location=Berlin | publisher=de Gruyter | pages=37-44 | year=1998 | isbn=3-11-015364-5 | zbl=0973.11047 |ref=harv}}
* {{cite book | first1=Enrico | last1=Bombieri | authorlink1=Enrico Bombieri | first2=Walter | last2=Gubler | title=Heights in Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=4 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=978-0-521-71229-3 | zbl=1130.11034 | doi=10.2277/0521846153}}
* {{Cite journal |last=Stewart |first=C. L. |authorlink2=Kunrui Yu |first2=Kunrui |last2=Yu |year=1991 |title=On the ''abc'' conjecture |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=291 |issue=1 |pages=225–230 |doi=10.1007/BF01445201 |ref=harv}}
* {{Cite journal |last=Stewart |first=C. L. |first2=Kunrui |last2=Yu |year=2001 |title=On the ''abc'' conjecture, II |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=108 |issue=1 |pages=169–181 |doi=10.1215/S0012-7094-01-10815-6 |ref=harv}}
 
{{Refend}}
 
 
{{DEFAULTSORT:Abcsejtes}}
 
[[Kategória:Számelmélet]]
[[Kategória:Egyenlőtlenségek]]