„Boole-algebra (struktúra)” változatai közötti eltérés

Minden Boole-algebra megfeleltethető egy relációs struktúrának az ''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a'' = ''a'' ∧ ''b'' megfeleltetéssel. Ez a hálóelméleti definíció nyújt lehetőséget a Boole-algebra általánosítására. Ez a [[Heyting-algebra]], mely nem tartalmazza azt a megkötést, hogy egy kijelentésnek mindenképpen igaznak vagy hamisnak kell lennie (lásd a fenti komplementer azonosságot). Míg a Boole-algebra a klasszikus propozicionális logika algebrai interpretációjának tekinthető, addig a Heyting-algebra az intuicionista logika algebrai interpretációját adja.

 

A „Boole-algebrát” [[George Boole]] (1815–1864) tiszteletére nevezték el, aki autodidakta angol matematikus volt. A logika algebrai rendszerét [[1854]]-es monográfiájában, ''A gondolkodás törvényei''ben (''The Laws of Thought'') fogalmazta meg. Ez különbözött a fent leírttól pár fontos pontban. Például a konjunkció és a diszjunkció számára nem egy duális operátorpár volt. A Boole-algebra [[1860]]-ban jött létre [[William Jevons]] és [[Charles Peirce]] cikkeiben. [[Ernst Schröder]] [[1890]]-es ''Vorlesungen''jének idejére már rendelkeztünk a Boole-algebra és a [[disztributív háló]]k első rendszerezett bemutatásával. Angol nyelvterületen a Boole-algebra első kiterjedt tárgyalása [[Alfred North Whitehead]] [[1898]]-ban írt ''Univerzális algebra'' ''(Universal Algebra)'' című műve volt. A Boole-algebrának az első axiomatikus algebrai struktúraként történő tárgyalása [[Edward Vermilye Huntington]] [[1904]]-es dolgozatával kezdődött meg. Komoly matematikává [[Marshall Stone]] [[1930-as évek]]ben végzett munkájával és [[Garrett Birkhoff]] [[1940]]-es ''Hálóelmélet'' ''(Lattice Theory)'' című művével vált. Az [[1960-as évek]]ben [[Paul Cohen (matematikus)|Paul Cohen]], [[Dana Scott]] és mások mélyenszántó új eredményeket találtak a [[matematikai logika]] és az axiomatikus [[halmazelmélet]] területén a Boole-algebra ágainak használatával, név szerint a [[forszolás]]sal és a Boole-értékű modellekkel.

 

1933-ban Edward Vermilye Huntington amerikai matematikus (1874–1952) egy elegáns axiómarendszert dolgozott ki a Boole-algebrák számára. Ehhez két alapműveletre volt szüksége, a + két változós és az ''n''() egy változós műveletre, ami a komplementert adja vissza.

A Boole-algebra eleget tesz a következő követelményeknek.

A [[Robbins-sejtés]] évtizedeken át nyitott maradt, és Alfred Tarski és köre kedvenc témájává vált. 1996-ban William McCune igazolta Larry Wos, Steve Winker, és Bob Veroff eredményeinek felhasználásával. Dahn egyszerűsítette a bizonyítást.

 

A Boole-algebra tehát egy ''A'' halmaz, melynek van legalább két eleme, az 1 és a 0, ellátva a kétváltozós ∨ (szóban: „vagy”) és ∧ (szóban „és”) művelettel továbbá a <math>\mbox{ }_{\overline{(\;)}}</math> egyváltozós művelettel, melyet komplementerképzésnek nevezünk és melyekre a következő művelet azonosságok teljesülnek:

 

 

== Példák ==

A legegyszerűbb Boole-algebra csak az 1 és a 0 elemeket tartalmazza. Ez megfelel az igazságértékekkel végzett műveletek algebrájának. A műveleti táblák ekkor a műveletek explicit definícióját adják:

{|

|}

 

Ha megadunk egy ''H'' halmazt (vagy egy ''C'' osztályt – ahogy eredetileg Boole), akkor ennek részhalmazai Boole-algebrát alkotnak a következő műveletkiosztással:

:&or; := &cup; (unió)

 

Szintén Boole-algebra a ''H'' alaphalmaz véges és ko-véges részhalmazainak rendszere.

* Legyen ''H'' egy teljesen rendezett halmaz, és vegyük a legszűkebb, az [''a'',''b'') félig nyílt intervallumokat tartalmazó algebrát (''a'' ∈ ''H'', ''b'' ∈ H vagy ''b''=∞). Az így kapott Boole-algebrák az intervallumalgebrák; minden megszámlálható Boole-algebra izomorf egy intervallumalgebrával.

* Egy ''n'' természetes számra ''n'' pozitív [[oszthatóság|osztói]] disztributív [[Háló (matematika)|hálót]] adnak, ha a rendezés az oszthatóság, a metszet a [[legnagyobb közös osztó]], az egyesítés a [[legkisebb közös többszörös]] képzése. Ebben a hálóban a legkisebb elem az 1, a legnagyobb elem ''n''. Ez a háló akkor és csak akkor Boole-algebra, ha ''n'' [[négyzetmentes számok|négyzetmentes]].

Ekkor ''A'' Boole-algebra lesz a <math>e \lor f := e + f - ef</math> és az <math>e \land f := ef</math> műveletekkel.

 

Amennyiben ''A'' halmaz, ''B'' az ''A'' bizonyos részhalmazainak halmaza, akkor abban az esetben mondjuk, hogy az (''B'',∪,∩,/_''A'',''A'',0) struktúra ''Boole-halmazalgebra'', ha ''B'' zárt a ∪, ∩, /_''A'' halmaz műveletekre, az üres halmaz (0) és ''A'' eleme ''B''-nek.

 

Ez azt is jelenti, hogy a Boole-halmazalgebrák <math>\mbox{ }_\mathsf{BsA}</math> osztályát végesen axiomatizálják a Boole-algebrák <math>\mbox{ }_\mathsf{BA}</math> osztályát definiáló egyenletek.

 

A logikai műveleteket elektromos kapcsolásokként (kapuáramkörökként) is értelmezhetjük. A logikai függvényeket így kapuáramkörök kombinálásával is felírhatjuk. Az ÉS, VAGY és NEGÁLT műveletek soros és párhuzamos kapcsolásnak, valamint invertereknek felelnek meg.

Ha ''A'' és ''B'' két Boole-algebra, akkor az ''f'' : ''A'' → ''B'' függvény [[homomorfizmus]] ''A'' és ''B'' között, ha minden ''a'' és ''b'' ∈ ''A''-ra:

 

 

Következik, hogy <math>f({\neg}a) = {\neg}f(a)</math> minden ''a'' eleme ''A''-ra. A Boole-algebrák osztálya ezekkel a morfizmusokkal teljes alkategóriát alkotnak a hálók kategóriájában.

Ha <math>(A, \land, \lor)</math> Boole-algebra, akkor ad egy (''A'', +, *) [[gyűrű (matematika)|gyűrűt]] a metszésre, mint szorzásra, és a szimmetrikus differenciára, mint összeadásra nézve. Ahol is a [[szimmetrikus differencia]]:

:<math>a + b = (a \land {\neg}b) \lor (b \land {\neg}a)</math>.

Az ideálok duálisai a [[Szűrő (matematika)|szűrők]]. Egy ''A''-val jelölt Boole-algebrában ''p'' szűrő, ha minden ''x'', ''y'' eleme ''p''-re <math>x \land y</math> is ''p''-beli, és minden ''a'' eleme ''A''-ra <math>a \lor x</math> szintén ''p''-beli.

 

Megmutatható, hogy minden véges Boole-algebra izomorf egy teljes halmazalgebrával. Ezért egy Boole-algebra elemszáma vagy kettőhatvány, vagy végtelen.

 

A disztributivitás követelményének elejtésével az ortokomplementumos hálókhoz jutunk. Az ilyen hálók természetes módon adódnak a kvantumlogikában, mint szeparábilis Hilbert-terek zárt részhalmazainak hálói.

 

* [[Boole-algebra (informatika)]]

* [[ítéletlogika]]

 

a szimbolikus logika algebrájából kifejlesztett, [[George Boole]] által szerkesztett halmazalgebra. Az aritmetikus algebrától való eltéréseit az A, B, C halmazokra vonatkozó abszorpciós szabályokkal illusztrálják: A+A=A és (A+B)(A+C)=A+BC. A halmazalgebrának és a logikai algebrának hasonlóságai fölfedezhetők, ha összehasonlítjuk A∩A=A-t és p∧p=p-t, az utóbbinál „p és p implikáltja p-t” olvasva, ahol p egy igaznak ismert állítás.-->

* {{citation

| last1 = Brown