„Modellelmélet” változatai közötti eltérés

'''Axiomatizálás:''' Tehát elmondhatjuk, hogy struktúrák egy osztálya akkor és csak akkor axiomatizálható, ha zárt az elemi ekvivalenciára és az ultraszorzatra, és végesen axiomatizálható ha komplementere is zárt.

 

 

A [[Löwenheim-Skolem tétel]] felszálló ága miatt megállapíthatjuk, hogy két elemien ekvivalens struktúra univerzumaik számosságában eltérhet. Ugyanakkor mégis van köztük hasonlóság; két modell pontosan akkor elemien ekvivalens, ha vannak omega hosszú izomorf ultraláncaik (Frayne), vagy izomorf ultrahatványaik. Ez utóbbit [[Keisler]] először, [[Szaharón Selah|Selah]] pedig a kontinuum hipotézis nélkül igazolta. Ezeket nem igazoljuk csak az előbbihez vezető ultraláncokról szóló tételt. Azt mondjuk, hogy A K-univerzális, ha minden A-val elemien ekvivalens és K-nál kisebb számosságú struktúra elemien beágyazható A-ba. Ha van egy F K-reguláris ultraszűrő egy K-nál kisebb számosságú formulahalmaz modelljének direktszorzata felett, akkor az így kapott ultrahatvány K+ univerzális. Ha van egy elemi beágyazás A-ból B-be, akkor van olyan diagonális beágyazás B-ből A K+ univerzális ultrahatványába, mely diagonális beágyazás eleme az előbbi elemi beágyazás értékkészlete. A feladat az, hogy B nyelvén a leképezéssel kapott képek tulajdonságainak elsőrendben meg kell egyeznie az eredeti elemek tulajdonságaival. Ez összesen annyi formula, mint a diagonális beágyazással kapott halmaz számossága. Ha F egy ultraszűrő, amely legalább annyira reguláris, mint ahány formulát szétosztunk az alaphalmaz koordinátáin, akkor a kompaktsági tétel miatt szét tudjuk úgy osztani a formulákat, hogy minden koordinátára csak véges sok formula jusson. Tehát B úgy ágyazható elemien egy ultrahatványba, hogy elég B egy véges részét jól reprezentálni, de persze egy-egy véges részen belüli elem képe függ a többi figyelembe vett elemtől is. [[Frayne tétele]] ezt felhasználva bizonyítja be az elemien ekvivalens modellek közti hasonlóságot.

:<math>\mathfrak{A}\models\varphi[a_1,a_2,...,a_n]</math>.

 

# ''T'' nyelve megszámlálható,

# ''T'' konzisztens és