„Axiomatikus-deduktív módszer” változatai közötti eltérés

Az axiomatikus-deduktív módszer fő vonalakban már a Kr.e.-i 300-as évekre készen volt. [[Eukleidész]] a görög [[matematika]] deduktív korszakának fénykorában keletkezett Elemek című műve mintapéldája ennek a megismerési módszernek. Később kiderült, hogy a matematika minden területe tárgyalható axiomatikus-deduktív módon, sőt az [[elméleti fizika]] és bizonyos [[nyelv]]i és [[logika]]i rendszerek is.

 

Röviden felsoroljuk azokat a fogalmakat, melyekkel a módszer operál. Két fogalomcsoportot kell vázolnunk, az egyik a deduktív tudományok kijelentéseire, a másik a tudományok fogalmaira vonatkozik. (Az axiomatikus-deduktív módszer kifejtésénél nem törekszünk axiomatikus-deduktív pontosságra, inkább csak körülírjuk azt. A pontos definíciók megtalálhatók a [[formális logika|formális logikában]], de el is térhetnek az ottanitól, attól függően, hogy milyen logikai rendszert veszünk alapul.)

* '''Tételek''': Minden axiomatikus-deduktív tudomány [[kijelentő mondat]]ok összessége, mely az adott tudományra nézve érvényes megállapításokat tartalmazza. Ezeket a kijelentéseket ''tételeknek'', vagy ''levezethető mondatoknak'' nevezzük.

* '''Axiómák''': Adott tudomány az ''axiomatikus'' jelzőt annak köszönheti, hogy az érvényes kijelentéseinek (a tételeknek) van egy kitütetett osztálya, melynek elemeit [[axióma|axiómáknak]] nevezzük. Ezeket a kijelentések automatikusan érvényesnek tekintjük, az elméleten belül semmilyen levezetéssel vagy igazolással nem kell belátnunk tétel voltukat.

<math>\cfrac{\Gamma \vdash A\,\mbox{, }\Gamma \vdash '\mbox{Ha }A\,\mbox{, akkor }B\,'}{\Gamma \vdash A\,}</math>

</center>

Egy axiomatikus elmélet kijelentő mondatatai (klasszikus esetben) bizonyos objektumok tulajdonságait rögzítik. Az objektumokhoz és tulajdonságokhoz hasonló fogalmak kapcsolódnak, mint a kijelentő mondatokra vonatkozó fenti rendszer.

*'''Alapfogalomak''': Az axiomatikus elméletek valamilyen dolgokról szólnak. Hogy milyen dolgairól tesznek állításokat azt az alapfogalmak körében rögzítjük.

</table>

</center>

Fontos kérdés, hogy mikor "jó" egy axiomatikus elmélet, azaz mikor teljesíti azokat a követelményeket, melyek alkalmassá teszik feladata ellátására:

* ellentmondásmentes - ez azért fontos, mert a klasszikus logika szerint, ha egy elmélet ellentmondásos, akkor benne bármely kijelentés egyszerre levezethető is és cáfolható is,

Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a "jelentés", "intuíció", "igaz" kifejezések egy matematikai szövegben egyáltalán nem bírnak magyarázó erővel, így a fenti mondatok félrevezetőek lehetnek, amennyiben nem utalunk arra, hogy a modern filozófiában komoly eredmények és vizsgálatok születtek ezen fogalmak értelmezésével kapcsolatban. Ráadásul elfedik azt a tényt, hogy míg a matematika egyes fogalmai az egyik axiómarendszerben nem definiált terminusok, addig másokban származtatott fogalmak. (Például a [[kategóriaelmélet]]ben definiálható a halmaz fogalma, míg a halmazelméletben nem, hasonlóképpen a halmazelméletben definiálhatók a számok, az aritmetikában nem.) ''Az alapfogalom és az axióma relatív fogalmak.'' Az a kijelentés, hogy "a halmaz alapfogalom" nem értelmes, csak ha így fogalmazunk: "a halmaz alapfogalom a <math>\mathcal{T}</math> axiomatikus elméletben".

 

''Informálisnak'' nevezünk egy axiomatikus-deduktív elméletet, ha [[természetes nyelv]]en fejtik ki és ''formálisnak'', ha valamely logikai szempontból alkalmas [[formális nyelv]] képezi az alapját. Az axiomatikus módszert lehet nem formális módon alkalmazni - ha eléggé körültekintőek vagyunk, akkor a módszer semmivel sem kevésbé használható, mint formális megfelelője. A matematika területeinek nagy részét informális (de formalizálható!) axiomatikus elmélet alapozza meg. Ellenben bizonyos esetekben a természetes nyelv gazdagsága folytán felléphetnek látszólagos ellentmondások. Ilyen a következő is, mely a [[Löwenheim-Skolem-paradoxon]]család egy egyszerű tagja:

*'''Skolem-paradoxon''' - Tekintsük az axiomatikus [[halmazelmélet]]ben szereplő összes [[halmaz]]t. Mivel egy halmaz definíciója véges sok betűvel (véges hosszú karakterlánccal) leírható, így az összes ilyen definíció halmaza legfeljebb megszámlálhatóan végtelen számosságú (ahogy az összes betűkből álló véges hosszúságú karakterlánc számossága is megszámlálhatóan végtelen). Viszont az axiomatikus halmazelméletben bizonyítható, hogy létezik olyan végtelen halmazrendszer, mely nem megszámlálhatónál számosságú.