„Brown-mozgás” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
→Felhasznált irodalom: Langevin egyenlet |
||
38. sor:
Ha a Brown-részecskéket nem pontszerű testnek tekintjük, hanem– pl. gömbszimmetrikus – kiterjedéssel rendelkező részecskéknek (melynek sugara ''a''), akkor a ''Stokes-egyenlet'' alapján ''D'' a következőképp írható: <math display="block">D= \frac {kT}{6 \pi \eta a}</math>
Laboratóriumi körülmények közt a fenti összefüggés számos komponense egyszerű számítások alapján meghatározható, mely elvet követve tett kísérletet ''Perrin'' és ''Chaudesaigues'' az [[Avogadro-szám]] meghatározására. Látható módon Einstein érvelése a Brown-mozgás dinamikai leírására nem ad kielégítő választ, az csupán annak elvi alapjait tárja fel, illetve utalást tesz több, további alapvető következtetési lehetőségre. ''Smoluchowski'' – Einsteintől függetlenül – hasonló eredményre jutott a mozgás elvi alapjainak leírásában. ''Langevin'' az Einstein-formulára egy másik levezetést javasolt, melyet később ''Ornstein'' és ''Uhlenbeck'' vizsgálatai során felhasznált. A jelenség
== Langevin-féle megközelítés ==
A nem-egyensúlyi rendszerek dinamikájának talán egyik legegyszerűbb megközelítéseként is aposztrofálható a Brown-mozgás. Ennek egyik szemléletes kifejtése a ''Lengevin-egyenlet'', amely a fluktuáció-[[Disszipatív erő|disszipáció]] elméletek egyik ékes példája. A kezdeti elméletek és a jelenség magyarázatai kissé eltérő módon kezelték magát a rendszert, ugyanis a jelenlévő egyes részecskék viselkedését, mintegy szubjektív módon vették figyelembe. Később ezt az álláspontot árnyaltabbá tették azáltal, hogy a fluktuáló részecskét egy nagyobb, makroszkopikus rendszer részeként szemlélték. Egy rendszerszerű perspektívából észlelve a reakciószintű történéseket ilyen módon visszavezethetjük a mikroszkopikus szinten végbemenő szabálytalan fluktuációk koncentráció-változásra gyakorolt hatására.
=== A Langevin-egyenlet ===
Tekintsünk egy Brown-részecskét (tipikusan 10<sup>–9</sup> m < ''r'' < 5×10<sup>–7</sup> m), mely egy sokkal kisebb partikulumokból (atomok) álló folyadékban elegyednek. Hasonlóképpen a részecskéket övező közeg atomjai nagyságrendileg nagyobb sebességgel mozognak, mint a Brown-részekék. Egy kolloidális rendszer általában legalább három idő nagyságrendet felölelő rendszert foglal magában. Jelen tárgyalásban ts egy nagyon rövid atomi nagyságrendű időskála – 10<sup>–12</sup> s körül tartományban. A t<sub>B</sub> (Brown-részecske) nagyságrendje mintegy 10<sup>–3</sup> s, továbbá t<sub>r</sub> a Brown-részecske ''relaxációs ideje'' (mely alatt a részecske saját sugarának megfelelő távolságra diffundál) – ez <math display="inline">\tau_r =a^2/D</math>. Sűrű, kolloid oldatban ez utóbbi igen hosszú intervallumot felölelhet, akár percekben, vagy órákban is mérhető. Jóllehet, a Brown-részecske mozgása többnyire véletlenszerű, mégis hasonló dinamikai formalizmusokkal írható le, mint bármely más mozgás. Ezek a [[Klasszikus mechanika|klasszikus mechanikában]] a Newton egyenletek, illetve a Hamilton-függvények. Az egyszerűség kedvéért ez a megközelítés a jelenséget egydimenziós megközelítésben tárgyalja. Newton – már ismert – dinamikai egyenlete alapján: <math display="block">m \frac{dv(t)}{dt}= F(t)</math>
ahol F''(t)'' a részecskére ''t'' időpillanatban ható összes erőt jelenti, mely a közeg által a részecskére ható erőt szimbolizálja. Ha szuszpenzió atomjainak helyzete ismert, mint az idő függvénye, F(t) rögtön kifejezhető. Általában nem praktikus, hogyhogy nem elkerülendő F(t) ilyetén meghatározása, melynek szinte teljes hányada a súrlódási erőből tevődik össze. Ha egyéb erőhatásokat nem veszünk figyelembe, akkor <math display="inline">m (dv/dt) = 6 \pi \eta \rho a</math> (''Stokes'').
Tekintsünk egy véletlenszerűen ható <math display="inline">\xi (t)</math>erőt, mely az esetleges fluktuáció-változások hatására jönnek létre. Ezt kifejtve, valamint a Stokes-egyenletet felhasználva a következők írhatók: <math display="block">d \frac {x(t)}{dt}= v(t) \qquad \frac {dv(t)}{dt}=- \frac{\gamma}{m}v(t)+ \frac{1}{m}\xi (t)</math>
Ezek a Brown-részecske Langevin-egyenletei. Az említett véletlenszerűen képződő erőhatás egy [[Sztochasztikus folyamat|sztochasztikus]] változó függvény – ha ettől eltekintünk, akkor a fenti függvények szimplán a <math display="block">v(t)=e^{\frac{-t}{\tau_B}}v(0) \qquad \tau_B = \frac{m}{\gamma}</math>
kifejezésre egyszerűsödik. Ennélfogva belátható, hogy a Brown-részecske sebessége t=8 esetén zérusra csökken. Ez természetesen összetett rendszerben nem fordulhat ugyanakkor elő, ugyanis egyensúlyban az ekvipartíció elve szerint <math display="inline">\langle v^2 (t)\rangle_{eq}= \frac{k_BT}{m}</math>, míg az egyszerűsített Langevin-egyenlet ilyen módon
<math display="block">\langle v^2(t)\rangle _{eq}=e^{-2t/\tau_B}\langle v^2(0)_{eq}\rightarrow 0</math>
Az ütközések során fellépő erőhatás nagysága az idővel rendkívül gyorsan változik. Ez leginkább a következőkkel szemléltethető:
<math display="block">\langle \xi (t)\rangle_\xi = 0 \qquad \langle \xi (t_1)\xi (t_2)\rangle_\xi = g \delta (t_1-t_2)</math>
A delta függvény azt szemlélteti, hogy két ütközés ''dt<sub>1</sub>'' és ''dt<sub>2</sub>'' között egymástól teljesen független. Nem szabad figyelmen kívül hagyni ugyanakkor, hogy utóbbi egyenletrendszer által illusztrált dinamikai modellben megjelenő erők összessége egyértelmű [[Normális eloszlás|Gauss-féle eloszlást]] mutat.
== Felhasznált irodalom ==
* {{CambrE|1}}
*{{cite journal|last=
*{{cite journal|last=Jia|first=Dongdong|year=2007|title=The time, size, viscosity, and temperature dependence of the Brownian motion of polystyrene microspheres|journal=American Journal of Physics|volume=75|issue=2|pages=111–115|publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT)|doi=10.1119/1.2386163|issn=0002-9505|last2=Hamilton|first2=Jonathan|last3=Zaman|first3=Lenu M.|last4=Goonewardene|first4=Anura|ref=harv}}
== További információk ==
| |||