„Gauss-elimináció” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Az eljárás célja és előnyei: link jav, kis korr |
|||
10. sor:
:<math>a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}</math>
Az eljárás során az egyenletrendszer megoldásait keressük, ahol megoldás alatt olyan <math>k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}</math> értendő, amely az <math>x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}</math> ismeretlenek helyére behelyettesítve mind az m egyenletet kielégíti.<ref>Az eljárással meghatározható [[
Az elimináció-, azaz kiküszöbölés-módszer lényege abban áll, hogy rendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrixszal reprezentálható alakra. Ezt sorozatos, jobb és bal oldalon egyaránt alkalmazott, lineáris [[Transzformáció (matematika)|transzformációk]] segítségével érjük el.<br />
27. sor:
Célunk az '''''A''''' mátrix bizonyos elemeinek a kinullázása a lehető legkisebb kerekítési hiba mellett. A következő egyszerű műveleteket használjuk:
* Felcserélve '''''A''''' bármely két sorát és a megfelelő sorokat '''''b'''''-ben , nem módosul az '''''x''''' megoldásvektor. Ez nyilvánvalóvá válik, ha észrevesszük, hogy a művelet az eredeti egyenletrendszer két egyenletének triviális felcserélését jelenti.
* Hasonlóképpen, ha bármelyik sort '''''A'''''-ban helyettesítjük önmaga és bármely másik sor [[lineáris kombináció]]jával, nem módosul a megoldás, ha azonos műveletet végzünk el '''''b''''' vektoron is. Az egyenletrendszer szintjén ez megint csak magától értetődik, tudniillik két egyenlet
* Két oszlop cseréje az '''''A'''''-ban a megfelelő együtthatók felcserélését teszik szükségessé az '''''x''''' megoldásvektorban. Az egyes egyenletek szintjén ez az összeadás [[kommutativitás]]ának kihasználását jelenti.
A mátrix-[[szorzás]]ok n<sup>3</sup>-bel arányos számítási költségének elkerülése érdekében kihasználjuk azt a tényt, hogy a fenti műveleteknek megfelelő transzformációs mátrixokban csak ''n'' elem különbözik nullától. Ezért a sorok és oszlopok módosítását közvetlenül elvégezhetjük ''n''-nel arányos [[művelet]]tel.
| |||