„Lineáris leképezés” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Apró módosítás |
Bővítés |
||
1. sor:
Egy '''lineáris leképezés''' (vagy '''lineáris operátor
* két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
* egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.
5. sor:
Leggyakrabban a [[valós számok|valós]], a [[komplex számok|komplex]] vagy a [[kvaterniók|kvaternió]] test feletti operátorokról van szó.
A [[geometria]] szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan [[affin transzformáció|affin leképezés]]ek
==
Legyen ''V'' és ''U'' a <math>\mathbb{T}</math> [[test (algebra)|test]] feletti két [[vektortér]]. Az <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[leképezés]]t lineárisnak nevezzük, ha minden ''v''<sub>1</sub> és ''v''<sub>2</sub> ∈ ''V'' vektorra, illetve minden ''λ'' ∈ <math>\mathbb{T}</math> elemre és ''v'' ∈ ''V'' vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:
* additivitás: <math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math>
* homogenitás: <math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math>
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy <math>\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]képzést, azaz minden ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, … , ''λ''<sub>''n''</sub> <math>\mathbb{T}</math>-beli elemre és ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, … , ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' vektorra:
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math>.
Ha ''V'' és ''U'' megegyezik, akkor '''lineáris transzformáció'''ról beszélünk.
A '''lineáris leképezés rangja''' a képterének dimenziója, azaz
:<math>\operatorname{Im}(\mathcal{A}) = \{\,\mathbf{w} \in U: \mathbf{w} = \mathcal{A}(\mathbf{v}), \mathbf{v} \in V\,\}</math> '''képtér''' esetén
:<math>\operatorname{rk}(\mathcal{A}) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(\mathcal{A}))</math>.
== Jelölése==
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy [[görög ábécé|görög betűvel]] jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math>
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris.
A <math>V \rightarrow \mathbb{T}</math> típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) '''lineáris funkcionál'''oknak nevezzük. Például a [[duális tér]] elemei lineáris funkcionálok.
== Fajtái==
* '''Monomorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[injektív függvény|injektív]] lineáris [[homomorfizmus]]
* '''Epimorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[szürjektív függvény|szürjektív]] lineáris homomorfizmus
* '''[[Izomorfizmus]]''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[bijektív függvény|bijektív]] lineáris homomorfizmus
* '''Endomorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow V</math> lineáris homomorfizmus
* '''Automorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow V</math> bijektív lineáris homomorfizmus
== Tulajdonságai ==
* Minden lineáris leképezés esetében az ''U''-beli [[neutrális elem]] (ami vektorterek esetében a [[nullvektor]]) képe a ''V''-beli neutrális elem, azaz ha <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math>, akkor <math>\mathcal{A}(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_U</math>. Ha ''U'' és ''V'' megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció [[fixpont]]ja.
==Mátrixreprezentáció==
Véges dimenziós [[vektortér|vektorterek]] közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott [[Vektortér#Bázis|bázisától]]. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített ''A'' ''m''×''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]] mellett bármely ''x'' ''n''-elemű vektorhoz az ''A·x'' ''m''-elemű vektort rendeli.
Lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor egy leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).
===Előírhatósági tétel===
Ha <math>
:<math>\mathcal{A}(\mathbf{b}_1)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_1),\;\mathcal{A}(\mathbf{b}_2)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_2),\;...\;,\mathcal{A}(\mathbf{b}_n)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_n)</math>
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math>
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez egy véges térbe, a
===Leképezés mátrixa===
:<math>[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix}
\end{bmatrix} </math>
ahol ''B'' = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, …, ''b''<sub>''n''</sub>) a ''V'' bázisa, ''C'' az ''U'' bázisa, a mátrix oszlopai pedig a ''B'' elemeinek <math>\mathcal{A}</math> általi képvektorai mint ''m''-elemű oszlopvektorok. Ha az ''U'' tér ''m''-dimenziós, akkor a <math>[\mathcal{A}]_{B,C}</math> mátrix összesen ''m'' <math>\cdot</math> ''n'' darab (szám)adatot tartalmaz. Ha <math>\mathcal{A}</math> <math>V \rightarrow V</math> típusú, akkor csak <math>[\mathcal{A}]_B</math>-t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy [[négyzetes mátrix]] lesz. Ha pedig pusztán <math>[\mathcal{A}]</math>-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a <math>\mathbb{T}^n</math> ''n''-dimenziós vektortér (például <math>\mathbb{R}^n</math>) bázisaként a különféle irányú [[egységvektor]]okból álló '''sztenderd bázis'''ról van szó, azaz a
:<math>\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}</math>
vektorrendszerről.
:<math>[\mathcal{A}\mathbf{v}]_C=[\mathcal{A}]_{B,C}\cdot [\mathbf{v}]_B</math>
=== Hasonló mátrixok ===
Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.
Definiáljuk először a '''hasonlóság''' tulajdonságát: egy ''A'' ''n''×''n''-es [[négyzetes mátrix]] hasonló egy ''B'' mátrixhoz (jelölésben: ''A'' ∼ ''B''), ha létezik olyan [[Invertálható mátrix|invertálható]] ''P'' mátrix, amelyre
: <math> B = P^{-1}AP</math>.
Bizonyítható állítások:
* Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
* A hasonló mátrixok [[rang (lineáris algebra)|rangjai]] megegyeznek, és ez azonos a közös lineáris leképezés rangjával.
* A hasonló mátrixok [[karakterisztikus polinom]]jai megegyeznek, és emiatt [[sajátérték]]eik is azonosak.
==Lineáris leképezések tere==
Az azonos <math>\mathbb{T}</math> test feletti, ''V''-ből ''U''-ba képező lineáris leképezések [[vektortér|vektorteret]] alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(''V'', ''U'')-val vagy Lin(''V'', ''U'')-val jelölik ,ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.
A Hom(''V'', ''V'') vektortér elemei (azaz a ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' vektortér-automorfizmusok) ezen kívül [[egységelem]]es [[algebra (gyűrű)|algebrát]] alkotnak a [[függvénykompozíció|kompozíció]] műveletével mint szorzással.
A ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' lineáris [[bijekció]]k invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy [[csoport (matematika)|csoportot]] alkotnak, a ''V''-feletti '''[[általános lineáris csoport|lineáris csoport]]'''ot (''GL''(''V'')).
===Operátorműveletek és mátrixműveletek===
67 ⟶ 90 sor:
*'''[[függvénykompozíció|Kompozíció]]'''
:<math>[\mathcal{A}\circ\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]\cdot [\mathcal{B}]</math>
*'''Invertálás'''. Injektív lineáris leképezés mátrixa [[reguláris mátrix|reguláris]], és fennáll:
:<math>[\mathcal{A}^{-1}]=[\mathcal{A}]^{-1}</math>
*'''Összeadás'''
:<math>[\mathcal{A}+\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]+ [\mathcal{B}]</math>
*'''
:<math>[\lambda\mathcal{A}]=\lambda\cdot[\mathcal{A}]</math>
=== Dimenziótétel ===
{{bővebben|Dimenziótétel}}
== Példák ==
Síkbeli lineáris transzformációk és <math>\mathbb{R}^2</math> felett a sztenderd bázishoz tartozó mátrixaik:
* [[identitás (geometria)|identitás]]
**: <math>\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
* [[forgatás]] az origó körül
** 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>
** tetszőleges ''θ'' szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}</math>
* [[tükrözés (matematika)|tükrözés]]
** az x-tengelyre:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>
** az y-tengelyre:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
* kétszeres nagyítás:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}</math>
* vízszintes nyírás:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
* [[hiperbolikus forgatás]]:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}</math>
* merőleges vetítés az y-tengelyre:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
Nem lineáris transzformáció:
* [[eltolás]] (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)
==Források==
79 ⟶ 131 sor:
*[http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html MathWorld: ''Linear Transformation'']
{{Portál|Matematika|i |}}
{{DEFAULTSORT:Linearislekepezes}}
[[Kategória:Lineáris algebra]]
| |||