„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
348. sor:
== Négyzetes mátrix ==
{{bővebben|Négyzetes mátrix}}
A [[négyzetes mátrix]] olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy adott test feletti összes
Egy
=== Diagonális mátrix ===
'''Diagonálmátrix''' olyan négyzetes mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme 0. (A nullmátrix is ide tartozik.)▼
{{bővebben|Diagonális mátrix}}
▲
: <math>
365 ⟶ 366 sor:
</math>
=== Egységmátrix ===
{{bővebben|Egységmátrix}}
Az <math>I_n</math> [[egységmátrix]] olyan négyzetes mátrix, melynek elemei a főátlóban egységnyiek, összes többi eleme 0, azaz olyan diagonálmátrix, melynek főátlóbeli elemei egységnyiek. Az egységmátrix kielégíti az alábbi egyenlőségeket: <math>M I_n = M</math> és <math>I_n N = N</math> minden <math>m \times n</math>''-es'' <math>M</math> mátrixra és <math>n \times k</math>''-s'' <math>N</math> mátrixra.
: <math>
381 ⟶ 383 sor:
Az egységmátrix a négyzetes mátrixok [[Gyűrű (matematika)|gyűrűjének]] egységeleme.
=== Invertálhatóság ===
A gyűrű invertálható elemeit '''[[invertálható mátrix]]'''nak vagy '''nem-szinguláris mátrixnak''' hívják. Egy <math>n \times n</math>-es <math>A</math> mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan <math>B</math> mátrix, melyre igaz: <math>AB = I_n (= BA)</math>. Ebben az esetben a ''B'' mátrix az ''A'' mátrix '''[[inverz mátrix]]'''a és <math>A^{-1}</math>-nel jelölik.
=== Determinánsképzés ===
Ha <math>\lambda</math> egy szám és <math>v</math> egy nemzéró vektor, melyre igaz az, hogy <math>Av = \lambda v</math>, akkor <math>v</math>-t az <math>A</math> mátrix [[Sajátvektor és sajátérték|sajátvektorának]], <math>\lambda</math>-t pedig a hozzá tartozó sajátértékének nevezik.▼
{{Bővebben|Determináns (matematika)}}
Az
:<math>\det(A)=\sum_{\pi}(-1)^{|\pi|}a_{1,\pi(1)}\cdots a_{n,\pi(n)}</math>
393 ⟶ 396 sor:
Invertálható mátrixok determinánsa nullától különbözik.
=== További jellemzők ===
Az ''A'' négyzetes mátrix [[karakterisztikus polinom]]ja a <math>p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\,</math> [[polinom]]. Ez <math>n \times n</math>-es ''A'' esetén <math>n</math>-edfokú, főegyütthatója <math>(-1)^n\,</math>, konstans tagja pedig <math>A</math> determinánsa. A [[Cayley–Hamilton-tétel]] szerint az <math>A</math> mátrix gyöke a <math>p_A(\lambda)\,</math> polinomnak. A <math>\lambda</math> szám akkor és csakis akkor sajátértéke <math>A</math> mátrixnak, ha <math>A - \lambda I_n</math> nem invertálható, azaz, ha <math>p_A(\lambda) = 0</math>. Így <math>p_A(x)</math> gyökei pontosan <math>A</math> sajátértékei.▼
▲Ha <math>\lambda</math> egy szám és <math>v</math> egy nemzéró vektor, melyre igaz az, hogy <math>Av = \lambda v</math>, akkor <math>v</math>-t az <math>A</math> mátrix [[Sajátvektor és sajátérték|sajátvektorának]], <math>\lambda</math>-t pedig a hozzá tartozó sajátértékének nevezik.
▲Az ''A'' négyzetes mátrix [[karakterisztikus polinom]]ja a <math>p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\,</math> [[polinom]]. Ez
A [[Gauss-elimináció]] algoritmusának alapvető fontossága van: ezt lehet használni mátrixok determinánsának, rangjának és inverzének számítására, valamint [[lineáris egyenletrendszer]]ek megoldására.
399 ⟶ 405 sor:
Egy négyzetes mátrix '''nyom'''a ([[angol nyelv|angol]] kifejezéssel ''trace''-e, vagy [[német nyelv|német]] szóval ''spur''ja) a főátlójában lévő elemek összege, ez mindig egyenlő az ''n'' [[Sajátvektor és sajátérték|sajátértékeinek]] összegével.
Az ''A'' négyzetes mátrix '''hasonló''' a ''B'' négyzetes mátrixhoz, ha létezik olyan ''C'' négyzetes mátrix, melyre
:
Jelölésben:
:<math>A \cong B</math> vagy <math>A \sim B \,.</math>
A hasonló mátrixok [[Sajátvektor és sajátérték|sajátértékei]] egyenlők, továbbá a mátrixok hasonlósága nagyon jó példája az
== Vektorterek ==
| |||