Wikipédia

„Szórás (valószínűségszámítás)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
{{egyért3|Szórás (egyértelműsítő lap)|A|szórás}}
A '''szórás''' a [[valószínűségszámítás]]ban az [[valószínűség-eloszlás|eloszlásokat]] jellemző jellemző szóródási mérőszám. A szórás megmutatja, hogy egy [[valószínűségi változó]] értékei átlagosan mennyire térnek el a [[várható érték|várható értékétől]]től.
 
Az <math>X</math> [[valószínűségi változó]] '''szórását''' az
6. sor:
<center>
<math>
\mathbbmathbf{D}(X) = \sqrt{\mathbbmathbf{E} \left((X -\mathbbmathbf{E}(X))^2\right)}
</math>
</center>
 
képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol <math>
\mathbbmathbf{E}
</math> a [[várható érték|várható értéket]] jelöli.
 
26. sor:
D(X),
\,
\mathbbmathbf D X.
</math>
</center>
48. sor:
:<math>
\begin{align}
\mathbbmathbf{D}(X) & = \sqrt{\mathbbmathbf{D}^2(X)} = \sqrt{\mathbbmathbf{V}(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}\left((X - \mathbbmathbf{E}(X))^2\right)} =
\sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2 - 2X\mathbbmathbf{E}(X) +\mathbbmathbf{E}^2(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2) - 2\mathbbmathbf{E}(X)\mathbbmathbf{E}(X) +\mathbbmathbf{E}^2(X)} =
\sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2) - 2\mathbbmathbf{E}^2(X) +\mathbbmathbf{E}^2(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2) - \mathbbmathbf{E}^2(X)}
\end{align}
</math>
 
* Tetszőleges <math>
a, b \in \mathbbmathbf{R}
</math> esetén
 
:<math>
\begin{align}
\mathbbmathbf{D} (aX) &=
\sqrt{\mathbbmathbf{V}(aX)} =
\sqrt{\mathbbmathbf{E}\left((aX)^2\right) - \mathbbmathbf{E}^2(aX)} =
\sqrt{\mathbbmathbf{E}(a^2X^2) - \left(\mathbbmathbf{E}(aX)\right)^2} = \\
&= \sqrt{a^2\mathbbmathbf{E}(X^2) - \left(a\mathbbmathbf{E}(X)\right)^2} =
\sqrt{a^2\mathbbmathbf{E}(X^2) - a^2\mathbbmathbf{E}^2(X)} = \\
&=\sqrt{a^2\left(\mathbbmathbf{E}(X^2) - \mathbbmathbf{E}^2(X)\right)} =
\sqrt{a^2\mathbbmathbf{V}(X)} = \\
&= \vert a \vert \mathbbmathbf{D}(X),
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\mathbbmathbf{D}(X + b) &=
\sqrt{\mathbbmathbf{V}(X + b)} =
\sqrt{\mathbbmathbf{E}\left((X + b)^2\right) - \left(\mathbbmathbf{E}(X + b)\right)^2} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2 + 2bX + b^2) - \left(\mathbbmathbf{E}(X) + b\right)^2} =
\sqrt{\left(\mathbbmathbf{E}(X^2) + 2b\mathbbmathbf{E}(X) + b^2\right) - \left(\mathbbmathbf{E}^2(X) + 2b\mathbbmathbf{E}(X) + b^2\right)} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2) + 2b\mathbbmathbf{E}(X) + b^2 - \mathbbmathbf{E}^2(X) - 2b\mathbbmathbf{E}(X) - b^2} = \\
& = \sqrt{\mathbbmathbf{E}(X^2) - \mathbbmathbf{E}^2(X)} = \\
& = \mathbbmathbf{D}(X).
\end{align}
</math>
94. sor:
 
<math>
\mathbbmathbf{D}(X) = 0 \Leftrightarrow X = c
</math>.
 
106. sor:
 
:<math>
\mathbbmathbf{D}(X+Y) =
\sqrt{\mathbbmathbf{D}^2(X) + \mathbbmathbf{D}^2(Y)}.
</math>
:
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Szórás_(valószínűségszámítás)”