„Mechanikai munka” változatai közötti eltérés

a
→‎Fizikai értelmezése: nyelvi változtatások
a (→‎Fizikai értelmezése: nyelvi változtatások)
:<math>W = \int\limits_{A}^{B} \displaystyle \mathbf{F}d\mathbf{s}</math>
: A (III.1)-ben <math>F cos\alpha</math> az erőnek az elmozdulás irányába vett merőleges vetülete (<math>F_s</math>), így a mechanikai munka kifejezhető mint
:<math>W = \int\limits_{A}^{B} \displaystyle {F}d\mathbf{scoscos\alpha} \cdot ds = \int\limits_{A}^{B}{F_s}ds</math> (III.4)
: Belátható, hogy amikor az állandó '''F''' erő egyenes vonalú pályán mozdítja el az anyagi pontot, az állandó erő munkája
 
<math>W=F_ss. </math>
 
=== Analitikus alak ===
 
A dW elemi munka más alakban is kifejezhető, ha az '''F''' erőt és a d'''s''' elmozdulást analitikus alakban adjuk meg:
 
<math>F=F_xi+F_yj+F_zk, ds (=dxi+dyj+dzk). </math>
 
<math> ds =dxi+dyj+dzk </math>
 
Az elemi munkára következik, hogy
<math>W = \int\limits_{A}^{B} \displaystyle {F}d\mathbf{s}=\int\limits_{A}^{B}( F_xdx+F_ydy+F_zdz).</math> (III.5)
 
Ábrázolva az <math>F_s</math> erőkomponenst a pálya különböző pontjaihoz tartozó s<math>s_i</math> út függvényében, a <math>\Delta_s{_i}Delta s_i</math> úton végzett munkának a <math>\Delta_s{_i}Delta s_i</math> alapú, <math>F_s{_i}</math> magasságú téglalap területe felel meg.
 
 
Véges úton a területek összege adja meg a munkát. Belátható, hogy a (III.4)-gyel értelmezett munka a görbe alatti besatírozott terület számértékével arányos. Megállapodás szerint a mechanikai munkát pozitívnak tekintjük (pozitívnak adódik az értelmezés szerint), ha az '''F''' erő végzi az anyagi ponton, és negatívnak, ha az anyagi pont végzi az erő ellenében. Az értelmezési összefüggésből az is következik, hogy nullától különböző erő a következő esetekben nem végez mechanikai munkát:
 
*ha az erő nem mozdítja el az anyagi pontot, tehát amikor az erő támadáspontja nyugalomban marad;
*ha az erő merőleges az elmozdulásra, például görbe vonalú mozgásnál a centripetális erő.
 
 
Az eddigiekben úgy tekintettük, hogy az anyagi pontra egyetlen erő hat. Hasson egyidejűleg az <math>\mathbf{F}_1,\mathbf{F}_2,...,\mathbf{F}_n</math> erő, amelyek hatására az anyagi pont a <math>\Delta s</math> szakaszon elmozdul. A munka értelmezéséből következik, hogy a végzett mechanikai munka
 
<math>W=\mathbf{F}_1\Delta_sDelta s \mathbf+ \mathbf{F}_2\Delta_sDelta s \mathbf+ ... + \mathbf{F}_n\Delta_sDelta s=
 
\Delta_sDelta s \cdot \sum_{i=1}^n\mathbf{F_i} =\mathbf F \cdot \Delta_sDelta s</math> . (III.6)
 
A (III.6) azt fejezi ki, hogy amikor az anyagi pontra egyidejűleg több erő hat, az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkájának algebrai összegével.
 
 
A mechanikai munka származtatott fizikai mennyiség. Az értelmezés összefüggés szerint a munka dimenziója (mértékegysége):
 
<math>[W]=[F][s]=ML^2T^2. </math>
Mértékegysége a J (Joule):
 
<math>1JJ=1NmNm=1kgmkgm^2s^{-2} </math>
 
Tehát 1 joule mechanikai munkát az az 1 N nagyságú állandó erő végez, amely támadáspontját az erő irányában 1 m-rel elmozdítja..<ref name=":0" />
== Egyszerű összefüggések ==
[[Fájl:Munka.png|bélyegkép|jobbra|200px|Elemi munka]]
A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az iránybanerő irányában mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor
 
: <math>W = Fs \;</math>
 
=== Állítás ===
A testre ható [[erő]]k eredője által végzett (teljes) munka megegyezik a teljes [[kinetikus energia]] megváltozásával, azaz:
 
<math>W_eW = \Delta E_k</math>.
 
Ez a tömegpontra értelmezett '''munkatétel'''. A továbbiakban ennek a bizonyítását tárgyaljuk két egyszerű esetben.
 
=== Bizonyítása egydimenziós esetben ===
A következő bizonyításban állandó nagyságú [[erő]]hatást feltételezünk, és továbbá azt, hogy '''(F)''' [[erő]] az eredő [[erő]]. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy m tömegű testet időben állandó nagyságú '''(F)''' [[erő]]hatás ér, akkor az a test állandó '''(a)''' gyorsulástgyorsulását eredményezeredményezi.
{{NumBlk|:|<math> F=ma \ \Rightarrow \ a = \frac{F}{m} </math>|1}}
 
</math>|2}}
 
Ahol '''(s)''' a megtett út hossza. JelöljükJelölje a test kezdeti [[sebesség]]ét <math>v_1</math>, és az [[erő]] megszűnte után, a test új, megváltozott [[sebesség]]ét <math>v_2</math> alsóindexekkel.
{{NumBlk|:|<math>
v_2^2 = v_1^2 + 2\frac{F}{m}s
 
=== Kétdimenziós esetben ===
Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a [[vektor]]ok – mint '''(v)''' sebesség – két komponenssel '''(x,y)''' rendelkeznek. Két dimenzió esetén a [[kinetikus energia]] a következő módon határozható meg:
{{NumBlk|:|<math>
E_k = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 = \frac{1}{2}m (v_x^2 + v_y^2)
</math>|4}}
 
Mivel '''(v)''' [[sebesség]] nem más mint a pozíció idő szerinti első [[derivált]]ja azaz: <math>v_x = \frac{dx}{dt} </math> Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.
{{NumBlk|:|<math>
\Delta E_k = F_x dx + F_y dy
{{NumBlk|:|<math>
\Delta E_k = \Delta W
</math>|6}}Ha két [[vektor]] '''(x)''' komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a [[vektor]]ok '''(y)''' irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két [[vektor]] skaláris szorzata amit <math>\vec{A} \cdot \vec{B}</math> vel szoktak jelölni.
 
<math>
609

szerkesztés