„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

a
nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
aNincs szerkesztési összefoglaló
A '''végtelen leszállás''' (descente infinie) egy [[indirekt bizonyítás]]i módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden részhalmazának van legkisebb eleme. A módszert [[Pierre de Fermat]] fejlesztette ki, és sok eredményéhez ezzel a módszerrel jutott el. A nagy Fermat-tételtételnek egy ''n'' = 4-hez tartozó speciális esete például belátható végtelen leszállással.
 
A huszadikXX. század számelmélete újra felfedezte a végtelen leszállást. Hozzákapcsolódott az algebrai számelmélethez és az L-függvényekhez. Mordell eredménye, hogy az [[elliptikus görbe|elliptikus görbék]] racionális pontjainak [[csoport (matematika)|csoport]]ja végesen [[generátorrendszer|generált]], szintén végtelen leszállással adódott. André Weil ezt az eredményt terjesztette ki magasságfüggvény használatával; ez később úttörőnek bizonyult. A Mordell–Weil tétel nyomán egy egészen új elmélet alakult ki.
 
==Általános eljárás==
Tehát ennek a diofantoszi egyenletnek nincs nem triviális megoldása.
===''r''<sup>2</sup> + ''s''<sup>4</sup> = ''t''<sup>4</sup>===
Nevezetes példa a nagy Fermat-tétel egy speciális esetének bizonyítása. A páratlan prímek mellett elég az ''n'' = 4 speciális esetre belátni a megoldhatatlanságot. Többet bizonyítunk, az <math>q^4 + s^4 =t^4</math> egyenlet helyett az <math>r^2 + s^4 =t^4</math> egyenletet használjuk. Egy újabb bizonyítás egy még általánosabb esettel foglalkozik, hogy nincs olyan pitagoraszi háromszög, aminek befogói egy négyzetnégyzetszám, ésilletve egyezen négyzetnégyzetszám kétszerese.<ref>Dolan, Stan, "Fermat's method of ''descente infinie''", ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, July 2011, 269–271.</ref>
 
Tegyük fel, hogy kaptunk valahonnan egy ilyen háromszöget!. Ekkor a pitagoraszi tulajdonság megtartásával skálázhatjuk úgy, hogy ne legyenek közös tényezőik. A primitív pitagoraszi háromszögek oldalai írhatók így:
 
:<math>x=2ab,</math> <math>y=a^2-b^2,</math> <math>z=a^2+b^2</math>, ahol ''a'' és ''b'' relatív prímek, és ''a+b'' páratlan, ezért ''y'' és ''z'' is páratlan. Három eset van aszerint, hogy melyik oldalpár lesz négyzet, vagy egy négyzet kétszerese:
*'''''y'' és ''x''''': Ha ''y'' négyzet és ''x'' négyzet vagy egy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>b</math> és <math>\sqrt{y}</math> befogójú és <math>a</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldala, ''b'' és ''a'' négyzet vagy négyzet kétszerese lenne, aminek átfogója rövidebb lenne, mint az eredetié: <math>a</math> <math>z=a^2+b^2</math> helyett.
 
*'''''z'' és ''x''''': Ha ''z'' négyzet és ''x'' négyzet vagy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>a</math> és <math>b</math> befogójú és <math>\sqrt{z}</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldala, <math>a</math> ésd <math>b</math> négyzet, vagy négyzet kétszerese, és átfogója rövidebb, mint az eredetié <math>\sqrt{z}</math> {{nowrap|<math>z</math>}} helyett.
 
Bármely ilyen esetben, ahol két oldal vagy mindegyike négyzet, vagy mindegyike egy négyzet kétszerese, kaphatunk egy kisebb megoldást, ami nem mehet a végtelenségig, tehát nem létezhet ilyen háromszög. Innen következik, hogy <math>r^2 + s^4 =t^4</math> megoldhatatlan, különben ''r'', ''s<sup>2</sup>'' és ''t<sup>2</sup>'' egy ilyen háromszög oldalai lennének.
 
További példák találhatók itt: <ref>Grant, Mike, and Perella, Malcolm, "Descending to the irrational", ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, pp. 263–267.</ref> és <ref>Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case ''n''&nbsp;=&nbsp;4", ''Mathematical Gazette'' 91, July 2007, 260–262.</ref>.
 
== További információk ==
36

szerkesztés