„Cauchy-sorozat” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Robot: következő hozzáadása: ca:Successió de Cauchy |
|||
3. sor:
==Definíció==
Legyen <math>\ (X,d)</math> [[metrikus tér]]. Ekkor az <math>x_n \in X</math> sorozatot ''Cauchy-sorozat''nak nevezzük, ha minden <math>\varepsilon > 0</math>-hoz van olyan <math>\ N</math>, hogy minden <math>n,m \geq N</math> esetén <math>d(x_n, x_m) < \varepsilon </math>.
'''Neveztes átfogalmazás:'''
az <math>x_n \in X</math> sorozat ''Cauchy-sorozat'' akkor és csak akkor, ha bármely <math>\varepsilon > 0</math>-hoz található olyan <math>\ N</math> küszöbszám, hogy a sorozat minden <math>\ N</math>-nél nagyobb <math>\ n</math> indexű tagja benne van az <math>\ x_N</math> elem <math>\varepsilon</math> sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:
<math>
(\forall \varepsilon > 0) \ (\exists N \in \mathbb{N}) \ (\forall n \in \mathbb{N}) \ \left[n > N \ \Rightarrow \ d(x_n,x_N) < \varepsilon\right].
</math>
'''Az ekvivalencia bizonyítása:'''
Legyen <math>x_n \in X</math> Cauchy típusú sorozat, és válasszunk egy <math>\varepsilon >0</math> számot. Így van olyan <math>\ N_1</math> szám, hogy minden <math>\ n,m > N_1</math> esetén <math>d(x_n, x_m)<\varepsilon</math>. <math>\ N:=N_1+1</math>, így
minden <math>\ n >N</math> esetén <math>d(x_n, x_N)<\varepsilon</math>.
Visszafele: legyen most <math>x_n \in X</math> sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt.
Válasszunk <math>\varepsilon>0</math> számott. Eszereint van olyan <math>\ N</math>, hogy minden <math>\ n>N</math> esetén <math>d(x_n,x_N)<\frac{\varepsilon}{2}</math>. Legyen <math>\ n,m>N</math>, így a [[háromszög egyenlõtlenség]] szerint:
<math>
d(x_n,x_m)\le d(x_n, x_N) + d(x_N,x_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
</math>
vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.
==Kapcsolódó definíciók==
| |||