„Hasonlóság (mátrixok)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Új oldal, tartalma: „Két <math>n \times n</math> mátrix <math>A</math> és <math>B</math> akkor nevezhető hasonlónak, ha létezik egy invertálható <math>n \times n</math> mátrix <math>P</math> ami teljesíti a következő egyenletet <math>B = P^{-1} A P </math>. A <math>P</math> mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni. A hasonlóságot jelölése: <math>A \cong B</math>. ==…” |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
10. sor:
A hasonlóság egy [[ekvivalenciareláció]].
* [[Reflexív reláció|Reflexív]]: minden mátrix saját magához hasonló <math>A \cong A</math>. <i>
* [[Szimmetrikus reláció|Szimmetrikus]]: ha <math>A \cong B</math>, akkor <math>B \cong A</math>. <i>
* [[Tranzitív reláció|Tranzitív]]: ha <math>A \cong B</math> és <math>B \cong C</math> akkor <math>A \cong C</math>. <i>Bizonyiték</i>: <math>B</math> kifejezhető mint <math>B = P_1^{-1} A P_1 </math> és <math>C</math> mit <math>C = P_2^{-1} B P_2 </math>. <math>C</math> újraírható mint <math> C = P_2^{-1} P_1^{-1} A P_1 P_2</math>. Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben <math>P = P_1 P_2</math>.
Ha két mátrix <math>A</math>, <math>B</math> hasonló <math>A \cong B</math>, akkor
* A [[Determináns (matematika)|determinánsok]] azonosak: <math>\det A = \det B</math>. <i>
<math>\begin{align}
\det B & = \det(P^{-1}A P) \\
22. sor:
\end{align}
</math>
* A [[Nyom (lineáris algebra)|nyom]]ok azonosak: <math>\mathrm{tr} A = \mathrm{tr} B</math>. <i>
<math> \begin{align}
\mathrm{tr} B &= \mathrm{tr}(P^{-1} A P) \\
&= \mathrm{tr}(PP^{-1}A) = \mathrm{tr}(I_n A) \text{
&= \mathrm{tr} A
\end{align}
</math>
* A [[Karakterisztikus polinom|karakterisztikus polinomok]] azonosak: <math>p_A(t) = p_B(t)</math>. <i>
<math>
\begin{align}
39 ⟶ 40 sor:
\end{align}
</math>
* [[Sajátvektor és sajátérték|Sajátértékek]] és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. <i>
| |||