„Vektoriális szorzat” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Gyk (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Gyk (vitalap | szerkesztései) kiegészítés + javítás |
||
1. sor:
==Vektoriális szorzat==
A '''vektoriális szorzat''', más néven külső vagy keresztszorzat egy [[vektor]]okkal végzett művelet. A [[skaláris szorzat]]tal ellentétben, e művelet eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat)
'''Jelölése''': <b>a</b>×<b>b</b> vagy [<b>ab</b>]<br>
'''Értelmezése''': Az eredményvektor nagyságát ([[abszolútérték]]ét) megkapjuk, ha a a két vektor hosszának (abszolútértékének) szorzatát megszorozzuk a közbezárt szögük [[szinusz]]ával (0° ≤ θ ≤ 180°):
:<math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)</math>
A művelet eredményeként kapott vektor merőleges mind '''a'''-ra, mind '''b'''-re. Mivel két (ellentétes irányú) vektor is teljesíti a térben ezt a merőlegességi feltételt, egyértelművé kell tenni, hogy melyikre gondolunk. '''a'''-nak, '''b'''-nek és az eredményvektornak jobbkezes [[koordináta-rendszer]]t kell alkotnia. Egy '''i''', '''j''', '''k''' kordináta-rendszert akkor hívunk jobbkezesnek, ha a jobb kezünk hüvelyk ujja '''i'''-vel, mutató ujja '''j'''-vel, középső ujja pedig (tenyerünkre merőlegesen) '''k'''-val párhuzamosan áll. Ez egy önkényes megállapodás (lehetne balkezesre is definiálni), ezért az eredményét [[pszeudovektor]]nak is nevezik.
[[Image:crossproduct.png|left]]
12. sor:
:<math>c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3</math>
:<math>c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1</math>
Vagy rövidebben: <math>c_i = \sum_{
<br clear=all>
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az '''a''' és '''b''' vektorok alkotják, akkor '''a'''×'''b''' nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített [[paralelogramma]] területével.
22. sor:
'''Tulajdonságok''':
* <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b} = - \mathbf{b}\times\mathbf{a}</math> , tehát nem kommutatív (hanem antikommutatív)
* <math>(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} \ne \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})</math> , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív▼
* <math>\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c}</math> , tehát az összeadásra disztributív
* <math>(\lambda \mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) = \lambda (\mathbf{a}\times\mathbf{b})</math>
* <math>(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} \ne \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})</math> , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi azonosságot: <math>\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + \mathbf{b}\times(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + \mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 0</math> Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy '''R'''<sup>3</sup> a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással [[Lie algebra|Lie algebrát]] képez.
'''Kifejtési tétel''': <math>\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c} (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})</math><br>▼
Kifejtési tétel:<br>
'''Lagrange-azonosság''': <math>(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})</math>▼
▲
Négyesszorzat:<br>
▲
Lagrange-azonosság:<br>
▲
<math>\mathbf{a}^{(i)}</math> (i=1,2,3) vektorok <math>\mathbf{A}^{(i)}</math> (i=1,2,3) [[reciprok rendszer]]ét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:<br>
:<math>\mathbf{A}^{(1)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(2)} \times \mathbf{a}^{(3)})</math><br>
:<math>\mathbf{A}^{(2)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(3)} \times \mathbf{a}^{(1)})</math><br>
:<math>\mathbf{A}^{(3)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(1)} \times \mathbf{a}^{(2)})</math> , ahol <math>v = (\mathbf{a}^{(1)},\mathbf{a}^{(2)},\mathbf{a}^{(3)})</math>
| |||