Extenzionalitási axióma

Az extenzionalitási axióma (vagy röviden: extenzionalitás) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:

Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.

$\forall x\forall y\,(\forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y)$

Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.

Változatok

• Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:

Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.

$\forall x\forall y\,(\forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y)$

Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.

• A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
• Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:

$\forall x\forall y\,(\mathrm {m} (x)\land \mathrm {m} (y)\land (\forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y))\rightarrow x=y)$

($\mathrm {m} (x)$ rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.

• Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
• Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:

$\forall x\forall y\,(\forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\,\mathop {\epsilon } \,y)\rightarrow x=y)$

(Itt $\in$ és $\epsilon$ két különböző tartalmazási reláció.) Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.

Irodalom

• Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
• Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).