„Stirling-formula” változatai közötti eltérés

A ''' Stirling-formula''' a [[faktoriális]] függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

 

Eszerint

<center><math>n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math></center>

ahol ''e'' a [[Euler-féle szám|természetes logaritmus alapja]] a <math>\sim </math>jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal [[Aszimptotikus egyenlőség|aszimptotikusan egyenlő]].

 

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a [[valószínűség-számítás]]ban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják.

 

== Bizonyítás ==

Többszöri parciális integrálás a következő aszimptotikus hatványsort adja

:<math>\ln \Gamma (z) = (z-\frac12)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}</math>

<math>O(z^{-m - 1/2})</math> hibával, ha az első ''m'' tagot használjuk. Így a következő közelítést kapjuk:

 

:::<math>{} + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots</math>

ami konvergens, ha <math>\Re(z)>0</math>.

 

== A faktoriális logaritmusa ==

 

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

 

::<math>\ln n! \approx n \ln n - n \,</math>

 

minden elég nagy természetes ''n'' számra, ahol ''ln'' a [[Logaritmus|természetes logaritmus]] függvény.

;Számológépek a faktoriálishoz

* [http://www.luschny.de/math/factorial/fffcalc.html Számológépek a faktoriálishoz]

 

[[Kategória:Matematikai tételek]]