„Egybevágósági transzformáció” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
14. sor:
;Bizonyítás
:Legyen <i>A, B</i> a két különböző fix pont, <i>e</i> pedig az általuk meghatározott egyenes. Legyen ''P'' egy, az ''A''-tól és a ''B''-től különbözö pontja ''e''-nek. Indirekt tegyük fel, hogy <i>P'</i> (''P'' képe) egy ''P''-től különböző pontja az egyenesnek.<ref>Az előző tétel miatt biztos, hogy az egyenesen van rajta</ref> Mivel egybevágóságról van szó: <math>\overline{PA}=\overline{P'A}\quad \overline{PB}=\overline{P'B}</math> teljesülnek, azaz ''A'' és ''B'' rajta vannak a <i>PP'</i> felező merőlegesén. Mivel azonban az ''e''-n is rajta vannak, és a felező merőleges csak egy pontban metsz ''e''-t: <math>A=B</math>, ami ellentmondás, tehát ''e'' minden pontja fix.
;Tétel
:Ha egy egybevágóságnak létezik 3 nem kollineáris<ref>Nem egy egyenesen lévő</ref> fix pontja, akkor a sík minden pontja fix.
;Bizonyítás
:Legyenek <i>A, B, C</i> a fix pontok. Ekkor az általuk alkotott háromszög mindhárom oldalegyenese fix. Vegyünk fel egy tetszőleges ''P''pontot a síkon, és legyen ''Q'' az egyik oldalegyenes belső pontja. A Pasch-axióma miatt<ref>ld: [[Hilbert-féle axiómarendszer#A rendezés axiómái]]
==Jegyzetek==
| |||