Wikipédia

„Hatáselv” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
JAnDbot (vitalap | szerkesztései)
46 506 szerkesztés
a Robot: következő hozzáadása: cs:Akce (fyzika)
SamatBot (vitalap | szerkesztései)
botok
247 461 szerkesztés
a kozmetikai javítások
17. sor:
==Történeti összefogalaló==
 
A '''legkisebb hatás elvét''' először [[Pierre Louis Maupertuis|Maupertuis]] fogalmazta meg [http://ourworld.compuserve.com/homepages/cuius/idle/evolution/ref/leastact.html] [[1746]]-ban, majd [[1748]]-tól kezdődően [[Leonhard Euler | Euler]], [[Joseph Louis Lagrange | Lagrange]], és [[William Rowan Hamilton | Hamilton]] fejlesztették tovább. Maupertuis abból az érzésből vezette le az elvet, hogy az [[Univerzum]] tökéletessége megkíván egyfajta gazdaságosságot és nem fér össze semmilyen energiapazarlással. A természetes mozgás olyan kell legyen, ami valamilyen mennyiséget minimalizál. Már csak azt kell kitalálni, melyiket. Ő ezt a ''vis viva''-ban, vagy ''élőerőben'' találta meg, amit ma [[mozgási energia|mozgási energiának]] hívunk.
 
Euler munkájában ("Reflexions sur quelques loix generales de la nature", [[1748]]) elfogadta a legkisebb hatás elvét, a mennyiséget "erőfeszítésnek" híva. Az ő kifejezése megfelel a [[helyzeti energia|helyzeti energiának]], azaz a hatáselv a [[statika|statikában]] megfelel annak az elvnek, hogy a testek olyan helyzetet vesznek fel, ami minimalizálja a teljes helyzeti energiát.
41. sor:
: <math> S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x})\,dt. </math>
 
Tekintsünk egy másik ''x<sub>1</sub>''(''t'') görbét (pályát), ami ugyanabban a pontban kezdődik és végződik, mint az első görbe, és tegyük fel, hogy a két görbe közötti távolság mindenhol kicsi: ''&epsilon;ε''(''t'') = ''x<sub>1</sub>''(''t'') – ''x''(''t'') kicsi. A kezdő- és végpontban ''&epsilon;ε''(''t<sub>1</sub>'') = ''&epsilon;ε''(''t<sub>2</sub>'') = 0.
 
Az első és második görbe mentén vett integrálok különbsége (amit ''S'' [[variáció]]jának hívunk):
50. sor:
</math>
 
ahol ''L''-et ''&epsilon;ε'' és ''&epsilon;ε&prime;'' szerint első rendben fejtettük ki. Hajtsunk végre [[parciális integrálás]]t a második tagon és használjuk ki a ''&epsilon;ε''(''t<sub>1</sub>'') = ''&epsilon;ε''(''t<sub>2</sub>'') = 0 feltételeket:
 
: <math>
60. sor:
</math>
 
''S'' minden pontban stacionárius, azaz ''&delta;δ S'' = 0 minden ''&epsilon;ε''-ra. Megjegyezzük, hogy lehet szó minimumról, nyeregpontról vagy formálisan maximumról is.
 
''&delta;δ S'' = 0 minden ''&epsilon;ε''-ra, akkor és csak akkor, ha:
 
<div style="float:center; border:2px solid black; padding:3px; margin-left: 1em;
76. sor:
: ha <math> \frac{\partial L}{\partial x}=0</math>, akkor <math> \frac{\partial L}{\partial\dot x}</math> állandó.
 
<math> \frac{\partial L}{\partial\dot x}</math>-nak ''konjugált impulzus'' a neve és ebben az esetben ez [[megmaradó mennyiség]]. Ha [[gömbi polárkoordináta|gömbi polárkoordinátákat]] használunk (''t, r, &phi;φ, &theta;θ'') és ''L'' nem függ ''&phi;φ''-től, akkor a konjugált impulzus a megmaradó [[impulzusmomentum]]. Hasonló módon levezethető, hogy explicit időfüggés hiányában az [[energia]] megmaradó mennyiség, de ezt nem nevezhetjük az idő konjugált impulzusának.
 
A [[funkcionálanalízis]] formalizmusában az Euler-Lagrange-egyenletek egyszerűen így fejezhetők ki:
88. sor:
:<math>\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)</math>
 
ortonormált (''x'',''y'') koordinátákban, ahol a pont a görbeparaméter (általában a ''t'' idő) szerinti deriválást jelöl. Polárkoordinátákban (''r'', &phi;φ) a mozgási energia és így a Lagrange-függvény:
 
:<math>
94. sor:
</math>
 
Az ''r'' sugár és a &phi;φ polárszög Euler-Lagrange-egyenletei:
 
:<math>
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Hatáselv”