„Konvex és konkáv függvény” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Robot: következő hozzáadása: es:Función convexa |
a kozmetikai javítások |
||
6. sor:
==Általános definíció ==
Az ''f'': <math>I</math> <math>\rightarrow</math> '''R''' intervallumon értelmezett valós változójú függvény '''konvex''', ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges ''a'' < ''b'' pontra az <math>I</math>-ből és ''t''
:<math>f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\leq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)</math></center>
''f'' '''konkáv''', ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges ''a'' < ''b'' pontra az <math>I</math>-ből és ''t''
:<math>f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\geq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)</math></center>
21. sor:
illetve konkáv, ha ''minden'' <math>I</math>-beli <math>x</math>, <math>u</math> számpár esetén:
:<math>f(x)\leq f(u)+f'(u)(x-u)</math>
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≧ 0 illetve ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges ''u''
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő
30. sor:
:''f'' konkáv <math>\Leftrightarrow </math> <math>\mbox{ }_{f''\leq 0}</math>
[[Kép:Konkáv.jpg|thumb|left|A függvény '''konkáv''' a [0;1,9] intervallumban
[[Kép:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]]
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 novemberéből}}▼
[[Kategória:Függvények]]
[[Kategória:Valós analízis]]
▲{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 novemberéből}}
[[en:Convex function]]
| |||