„Jólrendezett halmaz” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Jólrendezési tétel: Egy új bizonyítást írtam hozzá és egy megjegyzést. A régi bizonyítás a Zorn lemmát használja, annál a szócikknél viszont nincs rendes bizonyítás. |
|||
45. sor:
===Bizonyítás-vázlat a [[Kiválasztási axióma]] felhasználásával===
Legyen ''H'' tetszőleges halmaz. A bizonyítás lényege az, hogy ''H'' elemeihez [[rendszám]]okat rendelünk egyértelmű módon, azaz megadunk egy bijekciót a halmaz és a rendszámok egy szelete között. Mivel a rendszámok szeletei jólrendezett halmazok, a megfeleltetetés jólrendezést generál ''H''-n.
A Kiválasztási axióma azt biztosítja, hogy tudunk tetszőlegesen sokszor új elemet választani ''H''-ból, amit a soron következő rendszámhoz rendelünk hozzá.
Legyen tehát ''F'' egy kiválasztási függvény ''H'' hatványhalmazán: <math>F:\mathcal{P}(H)\rightarrow H ;\ F(A) \in A</math> minden <math>A \subseteq H ;\ A \ne \emptyset</math> esetén.
Kiválasztási függvény létezését a Kiválasztási axióma garantálja. Azonban a kiválasztási függvény az üres halmazhoz nem rendel semmit, ''F'' ottani értékét ezért külön kell definiálnunk:
<math>F(\emptyset):=t</math>, ahol ''t'' egy tetszőleges ''H''-n kívüli elem.<br>
Ezután [[transzfinit rekurzió]]val legyártjuk a ''G'' jólrendező függvényt. Minden rendszámhoz hozzárendelünk egy-egy elemet ''H''-ból, mégpedig a következőképp: legyen α egy rendszám. Ha az α-nál kisebb rendszámokra már meghatároztuk ''G'' értékét, nézhetjük ''H''-nak azon elemeit amiket már fölvett a ''G'' függvény az α-nál kisebb rendszámokon. Ezek egy részhalmazt alkotnak. Az ''F'' függvény ezen részhalmazon fölvett értéke lesz ''G''(α). Tehát a <br>
<math>G(\alpha)=F(H \setminus \{G(\beta) \mid \beta < \alpha \})</math> <br>
rekurzió megoldása lesz ''G'', a traszfinit rekurzió tétele szerint ''G'' létezik és egyértelmű. Ez a ''G'' még nem függvény, hanem ún. operáció, mert az értelmezési tartománya -a rendszámok osztálya- nem halmaz.
Viszont belátható, hogy ''G'' injektív, amég föl nem veszi a ''t'' értéket, onnantól kezdve viszont mindig ''t''-t vesz föl:
*<math>G(\alpha) \ne G(\beta)</math> , ha <math>\alpha \ne \beta</math> és egyikük sem <math>t</math>. Hiszen ha pl. α < β, akkor ''G''(β) értékét olyan halmazból választjuk, amiben ''G''(α) már nincs benne.
*<math>\alpha < \beta</math> és <math>G(\alpha)= t \ \Rightarrow \ G(\beta)=t</math>. G(α)=''t'' ugyanis azt jelenti, hogy ''H''-nak már minden elemét fölvette ''G'' α-nál kisebb rendszámokra, és így β esetén méginkább ez a helyzet.
*''G'' fölveszi a ''t'' értéket. Mert ha nem venné föl, akkor ''G'' bijekció lenne ''H'' és a rendszámok osztálya között, márpedig ''H'' halmaz, a rendszámok osztálya nem halmaz. (Egész pontosan a [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet|Pótlás axiómájára]] lehet hivatkozni.)
Legyen φ a legkisebb rendszám, amire ''G'' a ''t'' értéket veszi föl. A rendszámok tulajdonságai miatt ilyen rendszám létezik. Ekkor ''G'' megszorítása a φ-nél kisebb rendszámokra függvény, és bijekció ezen rendszámok és ''H'' között.
Ez a bizonyítás nem tartalmazza a transzfinit rekurzió pontos leírását.
| |||