„Affin kombináció” változatai közötti eltérés

Megjegyzés: használni fogjuk többtagú összeg jelölésére a <math> \sum_{i=1}^{u} t_{i} := t_{1} + t_{2} + ...… + t_{u} </math> (ahol u∈ℕ) ún. '''[[szumma]]jel'''et, bár a lentiek ennek ismeretétől függetlenül is érthetőek. A szummajel használatáról ld. az [[összeg]] címszavunkat.

*<math> \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,...n…n)} = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},...…, \alpha _{n} \right) \in T^{n} </math> skalárrendszer és

* <math> \left( a_{i} \right) _{i \in (1,2,...n…n)} = \left( a_{1} , a_{2},...…, a_{n} \right) \in V^{n} </math> vektorrendszer esetén, <br> (ahol <math>n \in \mathbb{N} </math>), a

<center><math> \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot a_{i}} = \alpha_{1} a_{1} + \alpha_{2} a_{2} + ...… +\alpha_{n} a_{n} </math></center>

<u>Definíció</u>: Legyenek adottak a <math> \left( P_{i} \right) _{i \in (1,2,...n…n)} = \left( P_{1} , P_{2},...…, P_{n} \right) \in E^{n} </math> pontok. E pontok <math> \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 </math> tulajdonságot kielégítő, <math> \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,...n…n)} = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},...…, \alpha _{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} </math>, skalárokkal képezett '''affin kombináció'''ja az a <math> Q \in \mathbb{E} </math> pont, amelynek <math>\underline{q}</math> helyvektorára teljesül:

<center><math>\underline{q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot \underline{p}_{i}} = \alpha_{1} \underline{p}_{1} + \alpha_{2} \underline{p}_{2} + ...… +\alpha_{n} \underline{p}_{n} </math></center>

<center><math> \vec{O\!Q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot \vec{O\!P}_{i}} = \alpha_{1} \vec{O\!P}_{1} + \alpha_{2} \vec{O\!P}_{2} + ...… +\alpha_{n} \vec{O\!P}_{n} </math></center>

<center><math> Q = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot P_{i}} = \alpha_{1} P_{1} + \alpha_{2} P_{2} + ...… +\alpha_{n} P_{n} </math></center>

Legyenek adva az <math> A_{1}, A_{2}, ...… , A_{n+1} </math> pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen <math> A_{k} </math>, ahol <math> k \in \mathbb{N} </math> és <math> 1 \le k \le n+1 </math> - az <math> \underline{a} _{1} = \vec{A_{k}\!A_{1}}, \underline{a} _{2} = \vec{A_{k}\!A_{2}}, ...… , \underline{a} _{n} = \vec{A_{k}\!A_{n}}, \underline{a} _{n+1} = \vec{A_{k}\!A_{n+1}} </math> helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db. vektor lesz, de mivel az egyik épp a <math> \underline{0} = \underline{a}_{k} = \vec{A_{k}\!A_{k}} </math> nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).

<center><math> \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + ...… +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}} </math> </center>

<center><math> \underline{p} - \underline{a}_{k} = \alpha_{1} \left( \underline{a}_{1} - \underline{a}_{k} \right) + \alpha_{2} \left( \underline{a}_{2} - \underline{a}_{k} \right)+ ...… +\alpha_{n} \left( \underline{a}_{n} - \underline{a}_{k} \right) +\alpha_{n+1} \left( \underline{a}_{n+1} - \underline{a}_{k} \right) = </math><br>