„Zorn-lemma” változatai közötti eltérés

 

A Jólrendezési tétel szerint minden halmaz jólrendezhető. Vegyünk ''H''-nak egy <math>(H, \preceq)</math> jólrendezését. A jólrendezés legkisebb elemétol kezdve építjük föl az ''L'' láncot [[transzfinit rekurzió]]val: egy elemet akkor veszünk hozzá a lánchoz, ha '''részbenrendezés szerint nagyobb''' minden nála '''jólrendezés szerint kisebb láncelemnél''', tehát az addig beválogatottaknál:

Ez a rekurzió egyértelműen definiálja ''L''-et, és ''L'' valóban lánc: két eleme közül az a nagyobb, amelyiket később vettük hozzá. A feltevés szerint minden láncnak van felső korlátja, jelölje ''m'' egy felső korlátját ''L''-nek. Belátjuk, hogy ''m'' maximális eleme ( ''H'' , ≤ )-nak. Tegyük fel indirekt, hogy van ''m''-nél nagyobb elem a halmazban. Ez az elem ''L'' minden eleménél nagyobb, így a rekurzió során hozzávettük ''L''-hez. Ez viszont ellentmond azzal, hogy ''m'' felső korlátja ''L''-nek. Tehám ''m'' maximális elem.

 

vagyis az a függvény, mely egy ''x'' ∈ ''P''-hez az ''x''-ből és megelőzőiből álló halmazt rendeli. Ekkor az ''F'' értékkészletére, az <math>\mbox{ }_\mathcal{S}</math> ⊆ [[hatványhalmaz|''P''(P)]] halmazra gondolhatunk úgy, mint az (<math>\mbox{ }_\mathcal{S}</math>,⊆) parciálisan rendezett halmaz alaphalmazára. Ekkor ''f'' rendezésizomorfizmus (P,≤)-ből (<math>\mbox{ }_\mathcal{S}</math>,⊆)-be. ( ''F''(''x'') lényegében az ''x'' elem által meghatározott kezdőszelet lezártja: [←,''x''] .) A ''P'' halmaz összes láncainak <math>\mbox{ }_\mathcal{H}</math> halmaza ugyanis a fenti tuljadonsággal rendelkezik. Továbbá a feltétel miatt igaz, hogy <math>\mbox{ }_\mathcal{H}</math> tetszőleges eleme (azaz egy ''P''-beli lánc) felülről korlátos <math>\mbox{ }_\mathcal{S}</math>-ben, tehát van ''x'' ∈ ''P'' amire részhalmaza F(x)=[←,''x'']-nek. Ez azt jelenti, hogy ha találunk ''M'' maximális elemet <math>\mbox{ }_\mathcal{H}</math>-ban, akkor annak [←,''x''] felső korlátja olyan, hogy ''x'' ∈ ''M,'' ellenkező esetben lenne ''M''-nek valódi, ''x''-szel történő kibővítése, mellyel még mindig lánc lenne, ami ellentmond a maximális tulajdonságának.

 

 

==Közvetlen következmények==