„Gossen törvényei” változatai közötti eltérés

Jelölje ''x''₁, ''x''₂, ...…, ''x_n'' az ''n'' darab jószágból fogyasztott mennyiségeket. Legyen <math>U(x_1,x_2,...…,x_n)\,</math> a fogyasztó hasznossági függvénye, vagyis egy olyan [[függvény (matematika)|függvény]], amely két jószágkombináció közül ahhoz, amelyik legalább olyan jó, mint a másik, nagyobb vagy egyenlő értéket rendel. (Vagyis a hasznossági függvény értéke az „élvezetek” kielégítésének mértékét reprezentálja.) Továbbá legyen ''m'' a fogyasztó jövedelme; ''p''₁, ''p''₂, ...…, ''p_n'' pedig az 1., 2., ...…, ''n''-edik jószág ára. Ekkor fogyasztónk a következő [[feltételes szélsőérték-feladat]]ot fogja „megoldani”:

<center><math>\begin{matrix} \max U(x_1,x_2,...…,x_n)

\\ p_1 x_1 + p_2 x_2 + ...… + p_n x_n \le m

''Megjegyzés: Persze a modell ugyanígy írható fel arra az esetre is, ha nem a jövedelem, hanem az idő állít korlátot a fogyasztás elé, ahogy Gossen II. törvényében eredetileg szerepel; ekkor m a rendelkezésre álló maximális időt szimbolizálja, p''₁'', p''₂'', ...…, p_n pedig azokat az időtartamokat, amiket az 1., 2., ...…, n-edik jószág egy-egy egységének elfogyasztása igényel.''

<center><math>\max [U(x_1,x_2,...…,x_n) - \lambda \cdot (p_1 x_1 + p_2 x_2 + ...… + p_n x_n - m) + \mu_1 x_1 + \mu_2 x_2 + ...… + \mu_n x_n]</math></center>

Ezt ''x''₁, ''x''₂, ...…, ''x_n'' szerint deriválva és ''U'' ''x_i'' szerinti [[derivált]]ját <math>MU_i\,</math>-vel jelölve a következő egyenleteket kapjuk:

<center><math>\begin{matrix} MU_1(x_1,x_2,...…,x_n) - \lambda p_1 + \mu_1 = 0

\\ MU_2(x_1,x_2,...…,x_n) - \lambda p_2 + \mu_2 = 0

\\ MU_n(x_1,x_2,...…,x_n) - \lambda p_n + \mu_n = 0 \end{matrix}</math></center>

A [[Kuhn–Tucker-féle korlátozó feltételek]] szerint ha ''x''₁, ''x''₂, ...…, ''x_n'' mind szigorúan pozitív, akkor <math>\mu_1 = \mu_2 = ...… = \mu_n = 0\,</math>. Ezt feltételezve egyenleteink ilyen alakot öltenek:

<center><math>\begin{matrix} \frac{MU_1(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_1} = \lambda

\\ \frac{MU_2(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_2} = \lambda

\\ \frac{MU_n(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_n} = \lambda \end{matrix}</math></center>

<center><math>\frac{MU_1(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_1} = \frac{MU_2(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_2} = ...… = \frac{MU_n(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_n}.</math></center>

Vagyis egy – szigorúan pozitív mennyiségekből álló – jószágkombináció valóban akkor optimális a fogyasztó számára, ha az utolsó pénzegységből származó határhaszon (<math>\frac{MU_i(x_1,x_2,...…,x_n)}{p_i}</math>) minden jószágra egyenlő.