„Axiomatikus-deduktív módszer” változatai közötti eltérés

*'''Származtatott fogalmak''': Egy axiomatikus elmélet alapfogalmaira az elmélet összes tulajdonsága és fogalma visszavezethető. Az ilyenek a származtatott fogalmak. Valójában egy jól megalapozott axiomatikus elméletben származtatott fogalmak helyett, csak az összetettebb kifejezések rövidítései szerepelnek.

:Például az aritmetikában a szorzás és az egész kitevőjű hatványozás visszavezethető az összeadásra, sőt a rákövetkezés műveletére, mely egy számhoz a rákövetkezőjét rendeli. Vagy például származtatott fogalom az <math>x\leq y</math> kifejezés, ami azt rövidíti, hogy létezik olyan <math>z\,</math> természetes szám, hogy <math>y=x+z\,</math>.

*'''Definíciós szabályok''': Ezek nagyon szorosan kapcsolódnak a levezetési szabályokhoz és az axiómákhoz, ugyanis ez utóbbiakon múlik, hogy, alkalmazhatunk-e pl. rekurzív vagy nemkonstruktív definíciót. Az euklideszi módon szerkeszthető alakzatok elméletében például biztosan nem "rajzolhatunk" ellipszisvonalat.

 

 

'''Megjegyzés.''' Nem képezheti matematikai vagy [[matematikai logika]]i vizsgálat tárgyát, hogy mik egy adott elméletben az alapfogalmak és axiómák ''jelentése''. Ezt részben a [[matematikafilozófia]], részben a [[filozófiai logika]] tárgyalhatja. A matematika ezen inkompetenciáját gyakran a következő nyelvi fordulatokkal fejezik ki az axiomatikus-deduktív elméletek bevezetése során:

Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a "jelentés", "intuíció", "igaz" kifejezések egy matematikai szövegben egyáltalán nem bírnak magyarázó erővel, így a fenti mondatok félrevezetőek lehetnek, amennyiben nem utalunk arra, hogy a XX. századi filozófiában komoly eredmények és vizsgálatok születtek ezen fogalmak értelmezésével kapcsolatban. Ráadásul elfedik azt a tényt, hogy míg a matematika egyes fogalmai az egyik axiómarendszerben nem definiált terminusok, addig másokban származtatott fogalmak. (Például a [[kategóriaelmélet]]ben definiálható a halmaz fogalma, míg a [[halmazelmélet]]ben nem, hasonlóképpen a halmazelméletben definiálhatók a [[szám]]ok, az aritmetikában nem.) ''Az alapfogalom és az axióma relatív fogalmak.'' Az a kijelentés, hogy "a halmaz alapfogalom" nem értelmes, csak ha így fogalmazunk: "a halmaz alapfogalom a <math>\mathcal{T}</math> axiomatikus elméletben".