„Cauchy-sorozat” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Bot:, Replaced: ... → … |
def. szavakkal, csak valós számokra , csonkjelzést kiszedtem |
||
1. sor:
[[Image:Cauchy sequence illustration.png|right|thumb|250px|Egy Cauchy-sorozat ábrázolása]]
A '''Cauchy-sorozat'''ok [[Augustin Cauchy]]ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben.▼
[[Image:Cauchy sequence illustration2.png|right|thumb|250px| Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása]]
▲A '''Cauchy-
==Definíció a valós számok között==
Egy <math>x_1,x_2,x_3,\ldots</math> alakú, valós számokból álló sorozatban mindig akkor '''Cauchy-sorozat''', ha minden pozitív valós <math>\varepsilon</math>-hoz találunk olyan ''N'' egész számot, hogy '''minden''' ''N''-nél nagyobb indexű elem közti távolság kisebb, mint <math>\varepsilon</math>.
Innen látható, hogy pl. nincsen egész számokból álló Cauchy-sorozat, hiszen két egész között legalább 1 a távolság, így nem lehet bármilyen kicsi.
A valós számok között minden Cauchy-sorozatnak van határértéke, ezért a valósak megfelelően használhatók az analízisben.
==Általános definíció==
A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett ( azaz [[metrikus tér| metrikus terekben]] ), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.
Legyen <math>\ (X,d)</math> [[metrikus tér]]. Ekkor az <math>x_n \in X</math> sorozatot ''Cauchy-sorozat''nak nevezzük, ha minden <math>\varepsilon > 0</math>-hoz van olyan <math>\ N</math>, hogy minden <math>\ n,m > N</math> esetén <math>d(x_n, x_m) < \varepsilon </math>.
'''
az <math>x_n \in X</math> sorozat ''Cauchy-sorozat'' akkor és csak akkor, ha bármely <math>\varepsilon > 0</math>-hoz található olyan <math>\ N</math> küszöbszám, hogy a sorozat minden <math>\ N</math>-nél nagyobb <math>\ n</math> indexű tagja benne van az <math>\ x_N</math> elem <math>\varepsilon</math> sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:
25 ⟶ 37 sor:
==Kapcsolódó definíciók==
Egy metrikus teret ''teljes''nek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat [[konvergens]].
==Példák==
41 ⟶ 53 sor:
* Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.
[[Kategória: Analízis | Topológia]]▼
▲[[Kategória:Topológia]]
[[en:Cauchy sequence]]
| |||