„Holomorf függvények” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
48. sor:
==Tulajdonságok==
A holomorf függvények [[folytonos]]ak, létezik [[primitív függvényük]] és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak.
Holomorf függvények [[kompozíció]]ja, [[lineáris kombináció]]ja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban,
Legyen <math>z_0\in\Omega</math> és <math>r=\sup\{d\in\mathbb{{R}}: |z-z_0|<d\Rightarrow z\in\Omega\}</math>, azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér <math>\Omega</math>-ban. Ekkor ha <math>f</math> holomorf az <math>\Omega</math>-ban, akkor létezik a <math>z_0</math> körüli [[Taylor-sora]], melynek konvergencia-sugara éppen <math>r</math>, és ott előállítja a függvényt.
'''Maximum elv''': Tartományon értelmezett holomorf függvény nem veszi fel a szélsőértékeit.
'''Liouville tétele''': Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.
'''Rouche tétele''': Legyen adva egy <math>\gamma</math> [[Jordan-görbe]], és legyen <math>\Omega</math> ennek a belseje. Tegyük fel, hogy <math>f,g:\Omega\to\mathbb{{C}}</math> két holomorf függvény, melyek folytonosak <math>\overline{\Omega}</math>-n, valamint tegyük fel, hogy minden <math>z\in\gamma</math> pontra fennáll: <math>|g(z)|<|f(z)-g(z)|</math>. Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van <math>\Omega</math>-ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.
| |||