„Lagrange-féle középértéktétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő hozzáadása: ko:평균값 정리 |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
19. sor:
==Általánosítás==
A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a [[Cauchy-féle középértéktétel]].
==A tétel magasabb dimenziókban==
Legyen <math>f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}</math> az <math>(a,b)</math> szakaszon differenciálható függvény (<math>a,b\in \mathbb{R}^n</math>esetén az <math>(a,b)</math> szakaszon az <math>S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}</math> pontokat értjük). Ekkor van olyan <math>c\in S</math>, amelyre
<center><math>f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad}~f(c), b-a\rangle</math></center>
teljesül.
===Bizonyítás===
Legyen <math>g\left(t\right)=f(a+t(b-a)), </math> ez <math> \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> függvény. Mivel <math>g</math> differenciálható a <math>(0,1)</math> intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz <math>\exist \theta \in (0,1)</math>, hogy
<center><math>g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta).</math></center>
''g'' definícióját beírva:
<center><math>g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta)=\langle\operatorname{grad}~f(a+\theta (b-a)), b-a\rangle</math></center>
<math>c:=a+\theta (b-a)</math> jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.
[[Kategória:Differenciálszámítás]]
| |||