„Nemeuklideszi geometria” változatai közötti eltérés

 

[[Kép:Nemeuklideszi-geom-3a.gif|150px|bélyegkép|balra]][[Kép:Nemeuklideszi-geom-3b.gif|150px|bélyegkép|jobbra]] Az [[párhuzamossági axióma|5. posztulátum]] elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet derékszögnél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A parallelákkal foglalkozó '''Gerolamo Saccheri''' (1667-1733) és '''Johann Heinrich Lambert''' (1728-1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb <math>2\pi</math>-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztani, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

 

'''Georg Friedrich Bernhard Riemann''' [1826–1866] két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált:

*Elliptikus metrika: <math>\delta_e(ab) = ab\angle</math>. (A "közönséges" szögmérték.)

*Hiperbolikus metrika: <math>\delta_h(ab) = k\cdot\ln (abxy)</math>.

 

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27 féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

 

== Jegyzetek ==

 

Lásd még: [[projektív geometria]]