„Prímszámtétel” változatai közötti eltérés

A '''prímszám[[tétel]]''' a [[prímszám]]ok eloszlását írja le. Ha ''x'' pozitív, jelölje <math>\pi(x)</math> az ''x''-ig terjedő prímszámok számát.

Még jobb közelítés adható a Li''(x)'' függvénnyel.

de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt [[Jacques Hadamard|Hadamard]] és [[Charles de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] [[1896]]-ban.

A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a [[Bernhard Riemann|Riemann]]-féle [[zeta-függvény]] gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült hogy a két állítás ''ekvivalens,'' ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül [[Erdős Pál]] és [[Atle Selberg]] adott [[1949]]-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.

A [[Dirichlet-tétel]] általánosításaként belátható, hogy minden <math>q>2</math>-re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod ''q'' redukált maradékosztályokban, azaz, ha <math>\pi(x,q,a)</math> jelöli az ''x''-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek ''q''-val osztva ''a'' maradékot adnak, akkor