„Egybevágósági transzformáció” változatai közötti eltérés

:''A, B, C'' legyenek egy egyenes három különböző pontja, ebben a sorrendben, ekkor <math>\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}</math>. Indirekt tegyük fel, hogy a ''T'' egybevágóság ezt a három pontot olyan ''A', B', C' '' pontokba viszi, amelyek nem egy egyenesen vannak, tehát egy háromszög csúcspontjai. Mivel ''T'' egybevágóság, ezért az <math>\overline{A'B'}+\overline{B'C'}=\overline{A'C'}</math> egyenletnek teljesülnie kell. Viszont mivel ''A', B', C' '' egy háromszög három csúcsa, az oldalaira igaz a háromszög-egyenlőtlenség: <math>\overline{A'B'}+\overline{B'C'}>\overline{A'C'}</math>, ami ellentmondás, mert nyilván nem lehet, hogy két mennyiség egyenlő, ugyanakkor az egyik nagyobb mint a másik. Tehát az indirekt feltevés hamis, vagyis igaz az állítás.

:Legyen ''A, B'' a két különböző fix pont, ''e'' pedig az általuk meghatározott egyenes. Legyen ''P'' egy, az ''A''-tól és a ''B''-től különböző pontja ''e''-nek. Indirekt tegyük fel, hogy ''P' '' (''P'' képe) egy ''P''-től különböző pontja az egyenesnek.<ref>Az előző tétel miatt biztos, hogy az egyenesen van rajta</ref> Mivel egybevágóságról van szó: <math>\overline{PA}=\overline{P'A}\quad \overline{PB}=\overline{P'B}</math> teljesülnek, azaz ''A'' és ''B'' rajta vannak a ''PP' '' felező merőlegesén. Mivel azonban az ''e''-n is rajta vannak, és a felező merőleges csak egy pontban metsz ''e''-t: <math>A=B</math>, ami ellentmondás, tehát ''e'' minden pontja fix.

Az eddigi tételek igazak a térben is, a következőkben, viszont szigorúan ''egysíkú''ak leszünk.

:A síknak egy adott ''t'' egyenesre való tükrözése az a leképezés, amely egy tetszőleges ''P'' ponthoz azt a ''P''' pontot rendeli képként, amelyre igaz, hogy <math>PP'\perp t</math> és <math>PP'\cupcap t</math> -t ''T''-vel jelölve <math>PT\cong P'T</math> A ''t'' egyenes pontjai fixek. A tükrözést a tengellyel lehet jellemezni. Kétszer egymás után ugyanarra az egyenesre tükrözés az identitás (azaz:<math>t\cdot t=t^2=1 \Leftrightarrow t^{-1}=t)</math>

:Legyen ''t'' a két fix ponton (''A''-n és ''B''-n) áthaladó egyenes. Ekkor ''t'' minden pontja fix, és tetszőleges ''t''-n kívüli ''P'' pont nem lehet fix (ld: előző tételek), tehát ''P''' különbözik ''P''-től. Mivel '''T''' egy egybevágóság:<math>\overline{PA}=\overline{P'A}\quad \overline{PB}=\overline{P'B}</math> tehát ''t'' a ''PP' '' szakasz felező merőlegese. Azaz:<math>PP'\perp t\quad \overline{PT}\cong \overline{P'T}\Rightarrow</math> ''P' ''a ''P'' pont tükörképe ''t''-re

:Legyen ''A'' a fix pont. Ekkor tetszőleges ''A''-tól különböző ''P'' esetén ''P' '' különbözik ''P''-től. Legyen ''t'' a ''PP' '' felezőmerőlegese. ''A'' rajta van ''t''-n, mert <math>\overline{PA}\cong \overline{P'A}</math> (ugyanis '''F''' egybevágóság). Tehát a ''t'''''F''' egybevágóságnak ''A'' fix pontja és ''P'' is önmagára képzödik (ugyanis:<math>P\longmapsto^t\mathbf{F} P'\longmapsto^\mathbf{F}t P)</math> Tehát ''A'' és ''P'' két fix pontja a ''t'''''F''' egybevágóságnak <math>\Rightarrow t\mathbf{F}=s \Rightarrow \mathbf{F}=ts</math>