„Operátornorma” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(egy ilyen tekinthető az '''C'''<sup>''n''</sup> euklideszi tér végtelen dimenziós megfelelőjének is.)
 
Annak az érdekében, hogy egy <math>l</math><sup>2</sup><math>\to</math><math>l</math><sup>2</sup> korlátos lineáris leképezést és ennek operátornormáját lássuk vegyünk egy korlátos ''s'' = (''s<sub>n</sub> '') sorozatot (persze minden négyzetesen abszolút szummálható sorozat korlátos, de fordítva már nem igaz). ''s''-et az korlátos sorozatok (<math>l</math><sup>2</sup>,||.||<sub>sup&infin;</sub>) normált teréből vettük, ahol
:<math>\| s \|_{\infty} = \sup _n |s_n| .</math>
a szuprémumnorma.
 
Legyen ''T<sub>s</sub>'' az ''s''-sel történő pontonkénti szorzás:
:<math>(a_n) \stackrel{T_s}{\longrightarrow} (s_n \cdot a_n).,\quad\quad((a_n)\in l^2)</math>
Világos, hogy ''T<sub>s</sub>'' lineáris és szintén <math>l^2</math>-be képez, hisz |<math>s_na_n</math>|-t majorálhatjuk |sup(s)||a_n</math>|, amiből mint az <math>(a_n)</math> konstansszorosából még mindig (négyzetesen abszolút) konvergens sor készíthető. Tekintsük tehát ''T<sub>s</sub>'' operátornormáját! Látható, hogy ekkor:
 
:<math>\| T_s\|_{\mathrm{op}} = min \{c\mid \|(s_na_n)\|_{\infty}\leq c\|(a_n)\|_{\infty}\}=\|s\|_{\infty}</math>
ekkor a ''T <sub>s</sub>'' korlátos a következő operátornormával:
 
:<math>\| T_s\|_{op} = \| s \|_{\infty}.</math>
 
Ez a példa tovább általánosítható az ''l'' <sup>2</sup> tér helyett általános ''L<sup>p</sup>'' teret használva ''p'' > 1 esetben illetve ''l''<sup>∞</sup> helyett az ''L''<sup>∞</sup> normált térben.