„Centrum (algebra)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Források és jegyzetek: Bot: <references /> cseréje {{források}}-ra |
a BinBot politikailag semlegessé teszi a Wikipédiát. A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. |
||
23. sor:
Ha G = (U, ×, e) egy [[Csoport (matematika)|csoport]], azaz × az asszociativitáson kívül még [[invertálható művelet]], tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g∈G-hez egy g<sup>-1</sup>∈G úgy, hogy g×g<sup>-1</sup> = g<sup>-1</sup>×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) [[részcsoport]] G-ben.
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt [[#Félcsoport centruma|fentebb]] már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, [[#Egységelemes grupoid centruma|fentebb]] azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy (ab)<sup>-1</sup> = b<sup>-1</sup>a<sup>-1</sup> tetszőleges G csoportban. Ekkor ugyanis ha z∈Z, azaz minden x-re zx = xz, akkor ezt az egyenlőséget invertálva, a
Ennél több is teljesül, nevezetesen a centrum [[normálosztó]] G-ben. Ez adódik a definícióból, hisz egy G csoport (tartóhalmazának) nem üres N részhalmaza definíció szerint épp akkor normálosztó, ha <math> \forall g \in G \ : \ g \times N = N \times g </math> .
| |||