„Bolzano–Darboux-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
13. sor:
A nyílt (y<sub>1<sub>,y<sub>2<sub>) intervallum része f(I)-nek, ugyanis legyen y ∈ (y<sub>1<sub>,y<sub>2<sub>) tetszőleges. Ezzel a ponttal definiáljuk a zárt intervallumon értelmezett
:<math>f_y:[x_1,x_2];x\mapsto f(x)-y</math>
leképezést. Ez folytonos, f<sub>y<sub>(x<sub>1<sub>)=y<sub>1<sub>-y<0 és f<sub>y<sub>(x<sub>2<sub>)=y<sub>2<sub>-y>0, így a [[Bolzano-tétel|Bolzano tétele]] szerint létezik zérushelye, mégpedig ez csak a nyílt (x<sub>1<sub>,x<sub>2<sub>) intervallumban lehet. Ha viszont x ∈ (x<sub>1<sub>,x<sub>2<sub>), olyan, hogy f<sub>y<sub>(x) = 0, akkor f(x)-y=0 és
:<math>y=f(x)\,</math>
s mivel y tetszőleges volt, ezért az egész nyílt intervallum része f(I)-nek.
| |||