„Szferoid” változatai közötti eltérés

209 bájt hozzáadva ,  12 évvel ezelőtt
nincs szerkesztési összefoglaló
a (Sok dolog: jó és jobb dolgok, rossz dolgok, kis és nagy dolgok és más dolgok egybe- és különírása (botszerkesztés kézi üzemmódban))
Nincs szerkesztési összefoglaló
A '''szferoid''' vagy más néven '''forgási ellipszoid''' vagy '''kéttengelyű ellipszoid''' egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy [[Ellipszis (görbe)|ellipszist]] valamelyik [[tengely]]e mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az [[ellipszoid]]nak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú. A [[gömb]] pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.
 
Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetünk meg, lapos ún. '''''lencseszferoidot''''' kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. '''''orsószferoidot''''' kapunk.
 
A [[gömb]] pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.
 
== Matematikai alakja ==
Jelölje ''a'' a nagytengelyt, és ''b'' a kistengelyt.
 
Ekkor aaz hosszúkás forgásellipszoidorsószferoid térfogata
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a b^2,</math>
 
és a lapítottélencseszferoidé
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.</math>
==Felszíne==
Legyen ismét ''a'' a nagytengely, és ''b'' a kistengely.
 
Ekkor aaz megnyúlt forgásellipszoidorsószferoid felszíne
:<math>A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)</math>,
 
és a lapítottélencseszferoidé
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)</math>.
 
==A felszínformulák levezetése==
Legyen <math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0</math> az ''a'' nagytengelyű és ''b'' kistengelyű ellipszoid egyenlete.
===Megnyúlt ellipszoidOrsószferoid===
Az első Guldin-szabállyal
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math>
 
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
===Lapított ellipszoidLencseszferoid===
A számítások az előzőekhez hasonlók.
 
Most az ellipszoidotellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.
 
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:
40

szerkesztés