„Szferoid” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Sok dolog: jó és jobb dolgok, rossz dolgok, kis és nagy dolgok és más dolgok egybe- és különírása (botszerkesztés kézi üzemmódban) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A '''szferoid''' vagy más néven '''forgási ellipszoid''' vagy '''kéttengelyű ellipszoid''' egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy [[Ellipszis (görbe)|ellipszist]] valamelyik [[tengely]]e mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az [[ellipszoid]]nak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.
Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetünk meg, lapos ún. '''''lencseszferoidot''''' kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. '''''orsószferoidot''''' kapunk.
A [[gömb]] pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.
== Matematikai alakja ==
12 ⟶ 16 sor:
Jelölje ''a'' a nagytengelyt, és ''b'' a kistengelyt.
Ekkor
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a b^2,</math>
és a
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.</math>
==Felszíne==
Legyen ismét ''a'' a nagytengely, és ''b'' a kistengely.
Ekkor
:<math>A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)</math>,
és a
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)</math>.
35 ⟶ 39 sor:
==A felszínformulák levezetése==
Legyen <math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0</math> az ''a'' nagytengelyű és ''b'' kistengelyű ellipszoid egyenlete.
===
Az első Guldin-szabállyal
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math>
55 ⟶ 59 sor:
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
===
A számítások az előzőekhez hasonlók.
Most az
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:
| |||