„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
8. sor:
A [[Cantor-tétel]] azt állítja, hogy ha ''H'' tetszőleges [[halmaz]], akkor a ''H'' halmaz és a ''P(H)'' halmaz (''H'' [[hatványhalmaz]]a) számosságára érvényes a következő „szigorú” egyenlőtlenség:
:<math>|H|<|\mathcal{P}(H)|</math>
Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok '''N''' halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok '''R''' halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy '''R'''-ben ugyanannyi elem van, mint ''P''('''N''')-ben, azaz '''N''' hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy '''R'''-ben saját magával és '''N'''-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú
A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette ([[Hilbert-problémák]]). A megoldást [[Kurt Gödel]] és [[Paul Cohen]] szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel [[1940]]-ben (a Gödel-féle konstruktív halmazok segytségével) bebizonyította, hogy a kontinuum hipotézis nem cáfolható, míg Cohen[[1963]]-ban (az általa kifejlesztett forszolás módszerével) pedig belátta,
hogy nem bizonyítható a [[Zermelo–Fraenkel axiómarendszer]]ben. A kettő együtt azt jelenti, hogy ez az állítás független ettől az axiómarendszertől, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem. Ezzel Hilbert 1. problémája megválaszolásra került.▼
▲hogy nem bizonyítható a [[Zermelo–Fraenkel axiómarendszer]]ben. A kettő együtt azt jelenti, hogy ez az állítás független ettől az axiómarendszertől, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem.
==Számosságaritmetika és kontinuum hipotézis==
A számosságaritmetika jelöléseivel az a következőket jelenti. <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> a természetes számok számossága. Van <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math>-ra rákövetkező számosság is, ezt <math>\mbox{ }_{\aleph_1}</math>-gyel jelöljük. Belátható, hogy <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> értékét nem hagyhatjuk el, sem összeadással, sem szorzással, az viszont biztos, hogy hatványozással már igen: <math>\mbox{ }_{2^{\aleph_0}>\aleph_0}</math>, tehát <math>\mbox{ }_{\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}}</math>. A kontinuumhipotézis azt mondja, hogy
:<math>\aleph_1= 2^{\aleph_0}</math>
(ez a kijelentés tehát független ZFC-től).
Az előbbi gondolatmenet akármilyen <math>\alpha</math> [[rendszám]]ra is megismételhető. Ekkor az [[általánosított kontinuumhipotézist]] kapjuk – valójában Gödel és Cohen ennek a függetlenségét látták be:
:<math>\aleph_{\alpha+1}= 2^{\aleph_{\alpha}}</math>
[[Kategória:Halmazelmélet]]
| |||